Encontre as raízes (zeros) da seguinte função, no intervalo dado, através dos métodos gráfico, da bisseção, da falsa posição, de Newton e da secante. Com base no resultado gráfico, determine intervalos para a possível solução, no caso do método da bisseção ou estimativa(s) inicial(is) para os métodos de Newton e da secante. Note que, para alguns casos, as funções tendem ao infinito para algum dos limites dos intervalos fornecidos. Realize 3 iterações para cada método.
Passo 1
O enunciado pede as raízes de f(x)=e{x},sen(x)−x{2}+4 no intervalo (π/2,π) pelos métodos gráfico, bisseção, falsa posição, Newton e secante, fazendo 3 iterações em cada um.
Passo 2
Antes de tudo, avaliamos os sinais em x₁=π/2 e x₂=π:
Como f(π/2)>0 e f(π)<0, há pelo menos uma raiz em (π/2,π).
Passo 3
Para todos os métodos vamos usar:
– Para bisseção e falsa posição, a_0=π/2, b_0=π.
– Para Newton, x₀=2.8 (próximo ao meio do intervalo).
– Para a secante, x₀=π/2 e x₁=π.
A derivada é
– Para bisseção e falsa posição, a_0=π/2, b_0=π.
– Para Newton, x₀=2.8 (próximo ao meio do intervalo).
– Para a secante, x₀=π/2 e x₁=π.
A derivada é
Passo 4
Bisseção (3 iterações):
- c₁=(1.5708+3.1416)/2=2.3562, f(c₁)≈+5.908 ⇒ raiz em [2.3562,3.1416].
- c₂=(2.3562+3.1416)/2=2.7489, f(c₂)≈+2.423 ⇒ raiz em [2.7489,3.1416].
- c₃=(2.7489+3.1416)/2=2.9453, f(c₃)≈−0.967 ⇒ raiz em [2.7489,2.9453].
Passo 5
Falsa posição (3 iterações):
- c₁=b₀−f(b₀)(b₀−a₀)/(f(b₀)−f(a₀))=3.1416−(−5.869)·1.5708/(−5.869−6.343)=2.3866, f(c₁)≈+5.761 ⇒ novo a=2.3866.
- c₂=3.1416−(−5.869)·(3.1416−2.3866)/(−5.869−5.761)=2.7606, f(c₂)≈+2.245 ⇒ novo a=2.7606.
- c₃=3.1416−(−5.869)·(3.1416−2.7606)/(−5.869−2.245)=2.8656, f(c₃)≈+0.578 ⇒ intervalo [2.8656,3.1416].
Passo 6
Newton (3 iterações):
Iteração 1: x₁=x₀−f(x₀)/f’(x₀)=2.8−1.667/(−15.586)=2.9070
Iteração 2: x₂=2.9070−(−0.196)/(−19.367)=2.8970
Iteração 3: x₃=2.8970−(−0.004)/(−18.993)=2.8968
Iteração 1: x₁=x₀−f(x₀)/f’(x₀)=2.8−1.667/(−15.586)=2.9070
Iteração 2: x₂=2.9070−(−0.196)/(−19.367)=2.8970
Iteração 3: x₃=2.8970−(−0.004)/(−18.993)=2.8968
Passo 7
Secante (3 iterações):
Iteração 1: x₂=x₁−f(x₁)(x₁−x₀)/(f(x₁)−f(x₀))=2.3866
Iteração 2: x₃=2.3866−5.761·(2.3866−3.1416)/(5.761+5.869)=2.7606
Iteração 3: x₄=2.7606−2.245·(2.7606−2.3866)/(2.245−5.761)=2.9996
Iteração 1: x₂=x₁−f(x₁)(x₁−x₀)/(f(x₁)−f(x₀))=2.3866
Iteração 2: x₃=2.3866−5.761·(2.3866−3.1416)/(5.761+5.869)=2.7606
Iteração 3: x₄=2.7606−2.245·(2.7606−2.3866)/(2.245−5.761)=2.9996
Resposta
Aproximações após 3 iterações:
• Bisseção: raiz em [2.7489,2.9453], x≈2.8471
• Falsa posição: raiz em [2.8656,3.1416], x≈2.8656
• Newton: x₃≈2.8968
• Secante: x₄≈2.9996
• Bisseção: raiz em [2.7489,2.9453], x≈2.8471
• Falsa posição: raiz em [2.8656,3.1416], x≈2.8656
• Newton: x₃≈2.8968
• Secante: x₄≈2.9996