Provar que, se 0,1, ldots, n é qualquer permutação de f[x0, x1, ldots, xn]=f[xi0, xi1, ldots, xin] , então

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a diferença dividida de ordem n é invariante sob qualquer permutação dos nós x₀,…,xₙ. O conteúdo envolvido é o conceito de diferença dividida e o polinômio interpolador de Newton. Vamos precisar da definição recursiva de diferença dividida e da forma de Newton do polinômio interpolador.

Passo 2

Lembrando a definição recursiva: para um único nó temos
f[xi]=f(xi),
e, em geral,
f[xi0,xi1,dots,xin]=f[xi1,dots,xin]-f[xi0,dots,xin-1]xin-xi0
A forma de Newton do polinômio interpolador de grau ≤n nos nós xi0,xi1,dots,xin é
Pn(x)=f[xi0]+f[xi0,xi1](x-xi0)+cdots+f[xi0,dots,xin](x-xi0)cdots(x-xin-1)

Passo 3

Como o polinômio interpolador de grau ≤n é único (ele interpola f nos mesmos nós, independente da ordem), a expressão Pn(x) construída na ordem (i0,i1,dots,in) deve ser exatamente o mesmo polinômio que naquela ordem natural (0,1,dots,n). Em particular, o coeficiente do termo de grau n em Pn(x) não pode mudar.

Passo 4

Na forma de Newton, o termo de grau n é
f[xi0,dots,xin],(x-xi0)cdots(x-xin-1)
Como (x-xi0)cdots(x-xin-1) é um polinômio monico de grau n, o coeficiente líder (de x^n) de Pn é exatamente f[xi0,dots,xin]. Mas esse coeficiente líder coincide com o de Pn na ordem natural, que é f[x0,dots,xn]. Portanto
f[xi0,xi1,dots,xin]=f[x0,x1,dots,xn]

Passo 5

Pela unicidade do polinômio e igualdade de coeficiente principal, concluímos
f[xi0,xi1,dots,xin]=f[x0,x1,dots,xn]

Resposta

f[x_0,x_1,\dots,x_n]=f[x_{i_0},x_{i_1},\dots,x_{i_n}], isto é, a diferença dividida é simétrica nos nós.

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