Provar que, se
é qualquer permutação de
, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a diferença dividida de ordem n é invariante sob qualquer permutação dos nós x₀,…,xₙ. O conteúdo envolvido é o conceito de diferença dividida e o polinômio interpolador de Newton. Vamos precisar da definição recursiva de diferença dividida e da forma de Newton do polinômio interpolador.
Passo 2
Lembrando a definição recursiva: para um único nó temos
e, em geral,
A forma de Newton do polinômio interpolador de grau ≤n nos nós
é
Passo 3
Como o polinômio interpolador de grau ≤n é único (ele interpola f nos mesmos nós, independente da ordem), a expressão
construída na ordem
deve ser exatamente o mesmo polinômio que naquela ordem natural
. Em particular, o coeficiente do termo de grau n em
não pode mudar.
Passo 4
Na forma de Newton, o termo de grau n é
Como
é um polinômio monico de grau n, o coeficiente líder (de
) de
é exatamente
. Mas esse coeficiente líder coincide com o de
na ordem natural, que é
. Portanto
Passo 5
Pela unicidade do polinômio e igualdade de coeficiente principal, concluímos
Resposta
f[x_0,x_1,\dots,x_n]=f[x_{i_0},x_{i_1},\dots,x_{i_n}], isto é, a diferença dividida é simétrica nos nós.