Sejam t1 e x1. Denotamos sumk=1^n f(xk)g^prime(xk)=sumi=1^n(xi-ti) . Provar que

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dadas as sequências t₁<…<tₙ e x₁<…<xₙ e definindo
f(x) := (x−t₁)…(x−tₙ),
g(x) := (x−x₁)…(x−xₙ),
o objetivo é mostrar
sumk=1^n f(xk)g'(xk) ,=, sumi=1^n(xi-ti)
Vamos usar interpolação de Lagrange e comparar coeficientes para chegar na identidade.

Passo 2

Para qualquer polinômio H de grau ≤n−1, a fórmula de Lagrange em x₁,…,xₙ diz
H(x)=sumk=1^nH(xk),Lk(x),
onde
Lk(x)=prodjneq kx-xjxk-xj = g(x)(x-xk),g'(xk)
Note que f(x)−g(x) tem grau ≤n−1 (pois f e g têm mesmo coeficiente líder). Além disso g(x_{k})=0, então
f(x)-g(x)=sumk=1^n(f(xk)-g(xk)),Lk(x)=sumk=1^nf(xk),g(x)(x-xk)g'(xk)
Reorganizando, obtemos
f(x)=g(x)+sumk=1^nf(xk)g'(xk),g(x)x-xk

Passo 3

Agora vamos comparar os coeficientes de x^{n-1} em ambos os lados. Escrevendo
f(x)=x^n -l(sumi=1^n tir)x^n-1+cdots,
g(x)=x^n -l(sumi=1^n xir)x^n-1+cdots,
e observando que em cada fração
g(x)x-xk = x^n-1 - l(sumjneq kxjr)x^n-2+cdots,
o coeficiente de x^{n-1} nessa fração é 1. Logo, no segundo somatório o coeficiente de x^{n-1} é
sumk=1^nf(xk)g'(xk)times1
Equacionando coeficientes de x^{n-1} em f(x)=g(x)+… dá
-sum ti = -sum xi + sumk=1^nf(xk)g'(xk)
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Passo 4

Combinando os termos,
sumk=1^nf(xk)g'(xk) = sumi=1^n(xi - ti),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

sumk=1^n f(xk)g'(xk) = sumi=1^n(xi-ti)

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