Sejam
e
. Denotamos
. Provar que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dadas as sequências t₁<…<tₙ e x₁<…<xₙ e definindo
f(x) := (x−t₁)…(x−tₙ),
g(x) := (x−x₁)…(x−xₙ),
g(x) := (x−x₁)…(x−xₙ),
o objetivo é mostrar
Vamos usar interpolação de Lagrange e comparar coeficientes para chegar na identidade.
Passo 2
Para qualquer polinômio H de grau ≤n−1, a fórmula de Lagrange em x₁,…,xₙ diz
onde
Note que f(x)−g(x) tem grau ≤n−1 (pois f e g têm mesmo coeficiente líder). Além disso g(x_{k})=0, então
Reorganizando, obtemos
Passo 3
Agora vamos comparar os coeficientes de x^{n-1} em ambos os lados. Escrevendo
e observando que em cada fração
o coeficiente de x^{n-1} nessa fração é 1. Logo, no segundo somatório o coeficiente de x^{n-1} é
Equacionando coeficientes de x^{n-1} em f(x)=g(x)+… dá
logo
Passo 4
Combinando os termos,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.