Encontre a resposta à entrada nula y_{0}(t) dos sistemas LTIC (linear, time-invariant, continuous-time) abaixo:
\left(D^{2}+3 D+2\right) y(t)=D x(t) y_{0}(0)=0 \quad \dot{y}_{0}(0)=-5

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Equação diferencial do sistema: \left(D^{2}+3D+2\right)y(t)=D x(t).
  • Pede a resposta à entrada nula, que chamamos de y_{0}(t).
  • Condições iniciais (para a resposta à entrada nula): \;y_{0}(0)=0 e \;\dot{y}_{0}(0)=-5.
Observação importante (não resolvo ainda): a “resposta à entrada nula” significa que consideramos a entrada x(t)=0 e achamos a solução do sistema determinada somente pelas condições iniciais.

Passo 2

Transformar o problema para a equação homogênea (definição de resposta à entrada nula).
  • Para a resposta à entrada nula colocamos x(t)=0. Assim a equação vira homogênea:
\left(D^{2}+3D+2\right)y_{0}(t)=0.
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral será a combinação linear de exponenciais do tipo e^{rt}, com r dado pela equação característica.

Passo 3

Formar e resolver a equação característica.
  • Supõe-se solução y_{0}(t)=e^{rt}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
r^{2}+3r+2=0.
  • Resolver essa quadrática. Ela fatoriza:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0,
portanto as raízes são r=-1 e r=-2. São raízes reais e distintas.

Passo 4

Escrever a solução geral da equação homogênea.
  • Como as raízes são distintas, a solução geral é
y_{0}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais. Aqui cada termo corresponde a um modo natural do sistema (decai exponencialmente).

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
  • Derivando:
\dot{y}_{0}(t)=-C_{1}e^{-t}-2C_{2}e^{-2t}.
  • Avaliando em t=0 e usando as condições iniciais:
y_{0}(0)=C_{1}+C_{2}=0,
\dot{y}_{0}(0)=-C_{1}-2C_{2}=-5.
  • Resolver o sistema linear. Da primeira equação C_{1}=-C_{2}. Substituindo na segunda:
-(-C_{2})-2C_{2}=-5 \quad\Rightarrow\quad C_{2}-2C_{2}=-5 \quad\Rightarrow\quad -C_{2}=-5.
Logo C_{2}=5 e C_{1}=-5.

Passo 6

Comentários finais (didáticos e motivadores).
  • Encontramos as constantes. A resposta à entrada nula é uma combinação de exponenciais decrescentes: os coeficientes mostram que inicialmente a derivada é negativa (conforme \dot{y}_{0}(0)=-5), e a solução tende a zero quando t\to\infty (sistema estável).
  • Agora montamos a solução final na seção de resposta.

Resposta

y_{0}(t)=5\bigl(e^{-2t}-e^{-t}\bigr)

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