Encontre a resposta à entrada nula
dos sistemas LTIC (linear, time-invariant, continuous-time) abaixo:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Equação diferencial do sistema:
. - Pede a resposta à entrada nula, que chamamos de
. - Condições iniciais (para a resposta à entrada nula):
e .
Observação importante (não resolvo ainda): a “resposta à entrada nula” significa que consideramos a entrada
e achamos a solução do sistema determinada somente pelas condições iniciais.
Passo 2
Transformar o problema para a equação homogênea (definição de resposta à entrada nula).
- Para a resposta à entrada nula colocamos
. Assim a equação vira homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral será a combinação linear de exponenciais do tipo
, com
dado pela equação característica.
Passo 3
Formar e resolver a equação característica.
- Supõe-se solução
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
- Resolver essa quadrática. Ela fatoriza:
portanto as raízes são
e
. São raízes reais e distintas.
Passo 4
Escrever a solução geral da equação homogênea.
- Como as raízes são distintas, a solução geral é
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais. Aqui cada termo corresponde a um modo natural do sistema (decai exponencialmente).
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
- Derivando:
- Avaliando em
e usando as condições iniciais:
- Resolver o sistema linear. Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Logo
e
.
Passo 6
Comentários finais (didáticos e motivadores).
- Encontramos as constantes. A resposta à entrada nula é uma combinação de exponenciais decrescentes: os coeficientes mostram que inicialmente a derivada é negativa (conforme
), e a solução tende a zero quando (sistema estável). - Agora montamos a solução final na seção de resposta.