Utilizando o método de Pivotação Completa, resolva:
\left\{\begin{array}{l}0.1 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=6.2 \\\ 8 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=7.1 \\\ 3 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}=-0.4\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede resolver o sistema linear por pivotação completa:
\begin{cases} 0,1\,x_{1}+5\,x_{2}+1\,x_{3}=6,2\\[4pt] 8\,x_{1}-2\,x_{2}+1\,x_{3}=7,1\\[4pt] 3\,x_{1}+1\,x_{2}-4\,x_{3}=-0,4 \end{cases}
  • Informações relevantes (extraídas do enunciado):
    • Matriz aumentada inicial (escrevo em forma algébrica):
    \begin{pmatrix} 0,1 & 5 & 1 & \vline & 6,2\\[4pt] 8 & -2 & 1 & \vline & 7,1\\[4pt] 3 & 1 & -4 & \vline & -0,4 \end{pmatrix}
  • Objetivo exato: aplicar o procedimento de pivotação completa (escolher, a cada etapa, o elemento de maior módulo na submatriz restante, trocar linhas e colunas para trazê-lo para a posição de pivô, eliminar abaixo, repetir) e obter x_{1},x_{2},x_{3}.]

Passo 2

Breve explicação do método (para lembrar enquanto aplicamos).
  • Pivotação completa (resumo prático):
    1. Na etapa k olhar para a submatriz de coeficientes que começa na linha k e coluna k.
    2. Encontrar o elemento de maior valor absoluto nessa submatriz; esse será o pivô.
    3. Trocar linhas e colunas para colocar esse pivô na posição (k,k). Trocar colunas significa permutar variáveis — por isso é preciso registrar a permutação de colunas para recuperar a ordem original das incógnitas no final.
    4. Fazer eliminação gaussiana normalmente (zerar abaixo do pivô).
    5. Repetir para k+1.
  • Quando terminar, usa-se substituição regressiva para achar as incógnitas (levando em conta qualquer permutação de colunas). Aqui veremos que não foi necessário trocar colunas, mas explico como rastrear se fosse necessário.

Passo 3

Montar a matriz inicial e escolher o pivô da primeira etapa.
  • Matriz aumentada inicial (repetindo):
\begin{pmatrix} 0,1 & 5 & 1 & \vline & 6,2\\[4pt] 8 & -2 & 1 & \vline & 7,1\\[4pt] 3 & 1 & -4 & \vline & -0,4 \end{pmatrix}
  • Procuramos o elemento de maior módulo em toda a matriz de coeficientes 3\times3. Valores absolutos: 0,1,\;5,\;1,\;8,\;2,\;1,\;3,\;4. O maior é 8, localizado na linha 2, coluna 1.
  • Para trazer esse pivô para (1,1) trocamos a linha 1 com a linha 2. Não é preciso trocar colunas porque o pivô já está na coluna 1. Registro da permutação de colunas: identidade (nenhuma troca).
  • Após trocar linha 1 com linha 2 obtemos:
\begin{pmatrix} 8 & -2 & 1 & \vline & 7,1\\[4pt] 0,1 & 5 & 1 & \vline & 6,2\\[4pt] 3 & 1 & -4 & \vline & -0,4 \end{pmatrix}]

Passo 4

Eliminação abaixo do pivô (1,1)=8.
  • Calculamos os multiplicadores para zerar as entradas abaixo da primeira coluna:
    m_{21}=\frac{0,1}{8}=\frac{1}{80},\qquad m_{31}=\frac{3}{8}.
  • Aplicamos R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}. Faço as contas com frações para manter exatidão:
    Linha 2 nova:
    \begin{aligned} &0,\; \; 5 - \frac{1}{80}(-2)=5+\frac{1}{40}=\frac{201}{40},\\[4pt] &\frac{79}{80}\quad(\text{pois }1-\tfrac{1}{80}= \tfrac{79}{80}),\\[4pt] &\text{lado direito: } \;6,2 - \frac{1}{80}\cdot 7,1 = \frac{4889}{800}. \end{aligned}
    Linha 3 nova:
    \begin{aligned} &0,\; \; 1 - \frac{3}{8}(-2)=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4},\\[4pt] &-4 - \frac{3}{8}\cdot 1 = -\frac{35}{8},\\[4pt] &\text{lado direito: } -0,4 - \frac{3}{8}\cdot 7,1 = -\frac{49}{16}. \end{aligned}
  • A matriz após essas operações (forma escalonada na primeira coluna) é
\begin{pmatrix} 8 & -2 & 1 & \vline & \dfrac{71}{10}\\[6pt] 0 & \dfrac{201}{40} & \dfrac{79}{80} & \vline & \dfrac{4889}{800}\\[6pt] 0 & \dfrac{7}{4} & -\dfrac{35}{8} & \vline & -\dfrac{49}{16} \end{pmatrix}
(observação: \dfrac{71}{10}=7,1 e \dfrac{4889}{800}=6,11125, -\dfrac{49}{16}=-3,0625). Até aqui nenhuma coluna foi trocada.]

Passo 5

Escolha do pivô na segunda etapa (submatriz de linhas 2,3 e colunas 2,3).
  • Submatriz de interesse:
\begin{pmatrix} \dfrac{201}{40} & \dfrac{79}{80}\\[6pt] \dfrac{7}{4} & -\dfrac{35}{8} \end{pmatrix}
  • Avaliando módulos: \dfrac{201}{40}\approx 5,025, \dfrac{79}{80}\approx 0,9875, \dfrac{7}{4}=1,75, \dfrac{35}{8}=4,375. O maior módulo é \dfrac{201}{40} (posição (2,2) da matriz global). Então o pivô é já o elemento (2,2) atual; não é necessária troca de colunas nem de linhas.]

Passo 6

Eliminação na segunda coluna (zerar a entrada (3,2) ).
  • Multiplicador:
    m_{32}=\frac{\frac{7}{4}}{\frac{201}{40}}=\frac{7}{4}\cdot\frac{40}{201}=\frac{70}{201}.
  • Atualizamos R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}. Calculemos a nova entrada na coluna 3 e o novo lado direito com frações exatas:
    Coluna 3 da linha 3:
    -\frac{35}{8}-\frac{70}{201}\cdot\frac{79}{80} =-\frac{35}{8}-\frac{553}{1608} =-\frac{1897}{402}.
    Lado direito da linha 3:
    -\frac{49}{16}-\frac{70}{201}\cdot\frac{4889}{800} =-\frac{83468}{16080} =-\frac{20867}{4020}.
  • Resultado: a matriz triangular superior (após as eliminações) é
\begin{pmatrix} 8 & -2 & 1 & \vline & \dfrac{71}{10}\\[6pt] 0 & \dfrac{201}{40} & \dfrac{79}{80} & \vline & \dfrac{4889}{800}\\[6pt] 0 & 0 & -\dfrac{1897}{402} & \vline & -\dfrac{20867}{4020} \end{pmatrix}]

Passo 7

Substituição regressiva para obter as incógnitas.
  • Da terceira equação (linha 3) temos
    -\dfrac{1897}{402}\,x_{3} = -\dfrac{20867}{4020}.
    Logo
    x_{3}=\frac{-\dfrac{20867}{4020}}{-\dfrac{1897}{402}} =\frac{20867}{4020}\cdot\frac{402}{1897} =\frac{20867}{10\cdot 1897}.
    Observando que 20867=11\cdot 1897, simplifica-se para
    x_{3}=\frac{11}{10}=1,1.
  • Da segunda equação (linha 2) temos
    \frac{201}{40}\,x_{2}+\frac{79}{80}\,x_{3}=\frac{4889}{800}.
    Substituindo x_{3}=\tfrac{11}{10}:
    \frac{201}{40}\,x_{2}=\frac{4889}{800}-\frac{79}{80}\cdot\frac{11}{10} =\frac{4889}{800}-\frac{869}{800} =\frac{4020}{800}=\frac{201}{40}.
    Portanto
    x_{2}=1.
  • Da primeira equação (linha 1) temos
    8\,x_{1}-2\,x_{2}+1\,x_{3}=\frac{71}{10}.
    Substituindo x_{2}=1 e x_{3}=\tfrac{11}{10}:
    8\,x_{1}= \frac{71}{10}+2\cdot 1 - \frac{11}{10} =\frac{71}{10} + \frac{20}{10} - \frac{11}{10} =\frac{80}{10}=8.
    Assim
    x_{1}=1.

Passo 8

Comentário final sobre permutação de colunas e verificação rápida.
  • Durante o procedimento escolhemos pivôs por módulo máximo e trocamos apenas linhas (na primeira etapa trocamos linha 1 com linha 2). Não houve troca de colunas; portanto a ordem das incógnitas x_{1},x_{2},x_{3} permaneceu a original — não há necessidade de reordenar a solução.
  • Verificação rápida (substituindo na primeira equação original): 0,1\cdot 1 + 5\cdot 1 + 1\cdot 1,1 = 0,1 +5 +1,1 =6,2bate certinho. As demais equações também conferem.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=1
x_{3}=1,1

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