Objetivo exato: aplicar o procedimento de pivotação completa (escolher, a cada etapa, o elemento de maior módulo na submatriz restante, trocar linhas e colunas para trazê-lo para a posição de pivô, eliminar abaixo, repetir) e obter x_{1},x_{2},x_{3}.]
Passo 2
Breve explicação do método (para lembrar enquanto aplicamos).
Pivotação completa (resumo prático):
Na etapa k olhar para a submatriz de coeficientes que começa na linha k e coluna k.
Encontrar o elemento de maior valor absoluto nessa submatriz; esse será o pivô.
Trocar linhas e colunas para colocar esse pivô na posição (k,k). Trocar colunas significa permutar variáveis — por isso é preciso registrar a permutação de colunas para recuperar a ordem original das incógnitas no final.
Fazer eliminação gaussiana normalmente (zerar abaixo do pivô).
Repetir para k+1.
Quando terminar, usa-se substituição regressiva para achar as incógnitas (levando em conta qualquer permutação de colunas). Aqui veremos que não foi necessário trocar colunas, mas explico como rastrear se fosse necessário.
Passo 3
Montar a matriz inicial e escolher o pivô da primeira etapa.
Procuramos o elemento de maior módulo em toda a matriz de coeficientes 3\times3. Valores absolutos: 0,1,\;5,\;1,\;8,\;2,\;1,\;3,\;4. O maior é 8, localizado na linha 2, coluna 1.
Para trazer esse pivô para (1,1) trocamos a linha 1 com a linha 2. Não é preciso trocar colunas porque o pivô já está na coluna 1. Registro da permutação de colunas: identidade (nenhuma troca).
Avaliando módulos: \dfrac{201}{40}\approx 5,025, \dfrac{79}{80}\approx 0,9875, \dfrac{7}{4}=1,75, \dfrac{35}{8}=4,375. O maior módulo é \dfrac{201}{40} (posição (2,2) da matriz global). Então o pivô é já o elemento (2,2) atual; não é necessária troca de colunas nem de linhas.]
Passo 6
Eliminação na segunda coluna (zerar a entrada (3,2) ).
Comentário final sobre permutação de colunas e verificação rápida.
Durante o procedimento escolhemos pivôs por módulo máximo e trocamos apenas linhas (na primeira etapa trocamos linha 1 com linha 2). Não houve troca de colunas; portanto a ordem das incógnitas x_{1},x_{2},x_{3} permaneceu a original — não há necessidade de reordenar a solução.
Verificação rápida (substituindo na primeira equação original):0,1\cdot 1 + 5\cdot 1 + 1\cdot 1,1 = 0,1 +5 +1,1 =6,2bate certinho. As demais equações também conferem.