Encontre a resposta à entrada nula
dos sistemas LTIC (linear, time-invariant, continuous-time) abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear com operador
(onde
significa derivada em relação a
, isto é
):
Pede-se a resposta à entrada nula
. Além disso foram dadas as condições iniciais da resposta à entrada nula:
O que exatamente se pede: encontrar
, ou seja a solução do sistema quando a entrada é nula (
) respeitando as condições iniciais acima.
Passo 2
Definição e primeiro passo prático: a resposta à entrada nula é a solução da equação homogênea (colocando
):
Em forma explícita:
Agora vamos resolver essa equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Método: equacionar o polinômio característico trocando
por
:
Calcule as raízes. Observa-se que é um quadrado perfeito:
logo existe uma raiz real dupla:
Passo 4
Regra para raiz real repetida: se a equação característica tem raiz
de multiplicidade 2, a solução geral homogênea é
Aplicando
obtemos a forma geral da resposta à entrada nula:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Encontrar as constantes usando as condições iniciais.
Primeiro evaluate em :
Primeiro evaluate em
Como
, segue
Agora calculamos a derivada
. Diferenciando
:
usamos produto e cadeia cuidadosamente:
usamos produto e cadeia cuidadosamente:
Agrupando:
Agora avalia em
:
Sabendo que
e
, temos
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral:
Podemos checar rapidamente as condições iniciais: em
dá
e a derivada em
dá
, compatível com as condições fornecidas. Portanto esta é a resposta correta para
.