Encontre a resposta à entrada nula y_{0}(t) dos sistemas LTIC (linear, time-invariant, continuous-time) abaixo:
\left(D^{2}+6 D+9\right) y(t)=(3 D+5) x(t) y_{0}(0)=3 \quad \dot{y}_{0}(0)=-7

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear com operador D (onde D significa derivada em relação a t, isto é D y=\dot{y}=dy/dt):
\left(D^{2}+6D+9\right)y(t)=(3D+5)x(t)
Pede-se a resposta à entrada nula y_{0}(t). Além disso foram dadas as condições iniciais da resposta à entrada nula:
y_{0}(0)=3,\qquad \dot{y}_{0}(0)=-7.
O que exatamente se pede: encontrar y_{0}(t), ou seja a solução do sistema quando a entrada é nula ( x(t)=0) respeitando as condições iniciais acima.

Passo 2

Definição e primeiro passo prático: a resposta à entrada nula é a solução da equação homogênea (colocando x(t)=0):
\left(D^{2}+6D+9\right)y_{0}(t)=0.
Em forma explícita:
\ddot{y}_{0}(t)+6\dot{y}_{0}(t)+9y_{0}(t)=0.
Agora vamos resolver essa equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Método: equacionar o polinômio característico trocando D por r:
r^{2}+6r+9=0.
Calcule as raízes. Observa-se que é um quadrado perfeito:
r^{2}+6r+9=(r+3)^{2},
logo existe uma raiz real dupla:
r=-3\quad(\text{multiplicidade }2).

Passo 4

Regra para raiz real repetida: se a equação característica tem raiz r de multiplicidade 2, a solução geral homogênea é
y_{0}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{rt}.
Aplicando r=-3 obtemos a forma geral da resposta à entrada nula:
y_{0}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-3t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Encontrar as constantes usando as condições iniciais.
Primeiro evaluate em t=0:
y_{0}(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0}=C_{1}.
Como y_{0}(0)=3, segue
C_{1}=3.
Agora calculamos a derivada \dot{y}_{0}(t). Diferenciando y_{0}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-3t}:
usamos produto e cadeia cuidadosamente:
\dot{y}_{0}(t)=C_{2}e^{-3t}+(C_{1}+C_{2}t)(-3)e^{-3t}.
Agrupando:
\dot{y}_{0}(t)=\bigl(C_{2}-3C_{1}-3C_{2}t\bigr)e^{-3t}.
Agora avalia em t=0:
\dot{y}_{0}(0)=\bigl(C_{2}-3C_{1}\bigr)e^{0}=C_{2}-3C_{1}.
Sabendo que \dot{y}_{0}(0)=-7 e C_{1}=3, temos
C_{2}-3\cdot 3=-7 \quad\Rightarrow\quad C_{2}-9=-7 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=2.

Passo 6

Substituindo C_{1}=3 e C_{2}=2 na solução geral:
y_{0}(t)=(3+2t)e^{-3t}.
Podemos checar rapidamente as condições iniciais: em t=0 3 e a derivada em 0 2-3\cdot3=2-9=-7, compatível com as condições fornecidas. Portanto esta é a resposta correta para t\ge 0.

Resposta

y_{0}(t)=(3+2t)e^{-3t}

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