Utilizando o método de Pivotação Completa, resolva:
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}=21 \\\ 4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=13 \x_{1}+5 x_{2}-x_{3}=-6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três incógnitas e pede que eu o resolva usando o método de Pivotação Completa. As equações são:
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}+6x_{3}=21,\\[4pt] 4x_{1}-2x_{2}+x_{3}=13,\\[4pt] x_{1}+5x_{2}-x_{3}=-6. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 6\\[2pt]4 & -2 & 1\\[2pt]1 & 5 & -1\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}21\\[2pt]13\\[2pt]-6\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar x_{1},x_{2},x_{3} resolvendo o sistema pelo método de pivotação completa (ou seja, em cada passo escolher o pivô com maior módulo na submatriz restante, podendo trocar linhas e colunas; lembrar de registrar as trocas de colunas porque elas mudam a ordem das incógnitas).]

Passo 2

Breve aula prática sobre Pivotação Completa (sem formalismo pesado, só o necessário para a prova).
  • Objetivo da eliminação de Gauss: transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior para depois aplicar substituição regressiva.
  • Problema prático: se o pivô é pequeno ou zero, a eliminação fica ruim ou impossível. A pivotação tenta evitar isso.
  • Pivotação completa: em cada estágio (quando se escolhe o próximo pivô) procura-se o elemento de maior valor absoluto na submatriz que ainda resta (linhas e colunas não eliminadas). Depois:
    1. troca-se a linha que contém esse elemento com a linha do pivô atual (se necessário);
    2. troca-se a coluna que contém esse elemento com a coluna do pivô atual (se necessário).
  • Troca de colunas muda a ordem das incógnitas; portanto mantém-se um vetor permutação para saber qual coluna corresponde a qual x_i ao final.
    Agora monto a matriz aumentada inicial (colunas são, pela ordem original, x_{1},x_{2},x_{3}):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 6 & 21\\[4pt] 4 & -2 & 1 & 13\\[4pt] 1 & 5 & -1 & -6 \end{array}\right].]

Passo 3

Primeiro passo da pivotação completa: procurar o maior valor absoluto na matriz coeficientes inteira (todas as linhas e colunas disponíveis).
  • Os valores absolutos são |2|,|1|,|6|,|4|,|{-2}|,|1|,|1|,|5|,|{-1}|. O maior é |6|, que está na posição linha 1, coluna 3.
  • Queremos que esse elemento fique na posição de pivô (1,1). Então trocamos a coluna 1 com a coluna 3 (para trazer a coluna do pivô para a coluna atual do pivô). Não há necessidade de trocar linhas porque o pivô já está na linha 1.
  • Registrar a permutação de colunas: a ordem original das incógnitas era (x_{1},x_{2},x_{3}). Após trocar coluna 1\leftrightarrow3, a nova ordem das colunas é (x_{3},x_{2},x_{1}). Vou guardar o vetor de permutação: p=(3,2,1). Isso significa: coluna 1 atual corresponde a x_{3}, coluna 2 a x_{2}, coluna 3 a x_{1}.
    A matriz aumentada após a troca de colunas 1\leftrightarrow3 fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 1 & 2 & 21\\[4pt] 1 & -2 & 4 & 13\\[4pt] -1 & 5 & 1 & -6 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminação usando o pivô (1,1)=6.
  • Calculo o multiplicador para a linha 2: m_{21}=\dfrac{1}{6}. Aplico R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1}.
    Cálculo componente a componente: R_{2}=\bigl[1,\,-2,\,4\mid13\bigr]-\frac{1}{6}\bigl[6,\,1,\,2\mid21\bigr] =\bigl[0,\,-2-\tfrac{1}{6},\,4-\tfrac{1}{3}\mid 13-\tfrac{21}{6}\bigr].Simplificando as frações: -2-\tfrac{1}{6}=-\tfrac{13}{6},\qquad 4-\tfrac{1}{3}=\tfrac{11}{3},\qquad 13-\tfrac{21}{6}=13-\tfrac{7}{2}=\tfrac{19}{2}.Logo R_{2}=\bigl[0,\,-\tfrac{13}{6},\,\tfrac{11}{3}\mid\tfrac{19}{2}\bigr].
  • Calculo o multiplicador para a linha 3: m_{31}=\dfrac{-1}{6}=-\tfrac{1}{6}. Aplico R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}=R_{3}+\tfrac{1}{6}R_{1}. R_{3}=\bigl[-1,\,5,\,1\mid-6\bigr]+\frac{1}{6}\bigl[6,\,1,\,2\mid21\bigr] =\bigl[0,\,5+\tfrac{1}{6},\,1+\tfrac{1}{3}\mid -6+\tfrac{21}{6}\bigr].Simplificando: 5+\tfrac{1}{6}=\tfrac{31}{6},\qquad 1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3},\qquad -6+\tfrac{21}{6}=-6+3{,}5=-\tfrac{5}{2}.Logo R_{3}=\bigl[0,\,\tfrac{31}{6},\,\tfrac{4}{3}\mid -\tfrac{5}{2}\bigr].
    A matriz aumentada após a eliminação do primeiro pivô é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 1 & 2 & 21\\[4pt] 0 & -\tfrac{13}{6} & \tfrac{11}{3} & \tfrac{19}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{31}{6} & \tfrac{4}{3} & -\tfrac{5}{2} \end{array}\right].]

Passo 5

Segundo passo de pivotação completa: olhar a submatriz que resta (linhas e colunas 2 e 3, i.e. a parte à direita e abaixo do pivô já usado) e escolher o elemento de maior módulo.
  • A submatriz de coeficientes restante é
\begin{pmatrix} -\tfrac{13}{6} & \tfrac{11}{3}\\[4pt] \tfrac{31}{6} & \tfrac{4}{3} \end{pmatrix}.
Os módulos são \tfrac{13}{6}\approx2{,}1667, \tfrac{11}{3}\approx3{,}6667, \tfrac{31}{6}\approx5{,}1667, \tfrac{4}{3}\approx1{,}3333. O maior módulo é \tfrac{31}{6}, que está na posição (linha 3, coluna 2) da matriz aumentada.
  • Queremos que esse elemento fique na posição de pivô (2,2). Para isso trocamos a linha 2 com a linha 3. Não é preciso trocar colunas porque o pivô já está na coluna 2.
    Após trocar R_{2}\leftrightarrow R_{3}, a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 1 & 2 & 21\\[4pt] 0 & \tfrac{31}{6} & \tfrac{4}{3} & -\tfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & -\tfrac{13}{6} & \tfrac{11}{3} & \tfrac{19}{2} \end{array}\right].]

Passo 6

Eliminação usando o pivô (2,2)=\tfrac{31}{6}.
  • Calcula-se o multiplicador para zerar a entrada na linha 3, coluna 2: m_{32}=\frac{-\tfrac{13}{6}}{\tfrac{31}{6}}=\frac{-13}{31}.
  • Aplica-se R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}=R_{3}+ \tfrac{13}{31}R_{2}.
    Cálculos: \text{coluna 3: }\quad \tfrac{11}{3}+\tfrac{13}{31}\cdot\tfrac{4}{3} =\frac{11\cdot31+13\cdot4}{3\cdot31} =\frac{341+52}{93} =\frac{393}{93}=\frac{131}{31}.
\text{lado direito: }\quad \tfrac{19}{2}+\tfrac{13}{31}\cdot\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr) =\frac{19\cdot31-13\cdot5}{2\cdot31} =\frac{589-65}{62} =\frac{524}{62}=\frac{262}{31}.
A entrada da coluna 2 fica zero por construção.
  • Assim a terceira linha após a operação é \bigl[0,\,0,\,\tfrac{131}{31}\mid\tfrac{262}{31}\bigr].
    A matriz aumentada em forma triangular superior é então
\left[\begin{array}{ccc|c} 6 & 1 & 2 & 21\\[4pt] 0 & \tfrac{31}{6} & \tfrac{4}{3} & -\tfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{131}{31} & \tfrac{262}{31} \end{array}\right].]

Passo 7

Substituição regressiva para encontrar as incógnitas na ordem das colunas atuais.
  • A ordem atual das colunas (registrada em p) é (x_{3},x_{2},x_{1}). Ou seja:
    • Coluna 1 atual corresponde a x_{3},
    • Coluna 2 atual corresponde a x_{2},
    • Coluna 3 atual corresponde a x_{1}.
  • Da terceira equação (linha 3) temos: \frac{131}{31}\cdot x_{\text{col }3}=\frac{262}{31}.Aqui x_{\text{col }3} é a variável associada à coluna 3 atual, ou seja x_{1}. Resolve-se: x_{1}=\frac{\tfrac{262}{31}}{\tfrac{131}{31}}=\frac{262}{131}=2.
  • Usando a segunda linha: \frac{31}{6}\,x_{\text{col }2}+\frac{4}{3}\,x_{\text{col }3}=-\frac{5}{2}.Aqui x_{\text{col }2}=x_{2} e x_{\text{col }3}=x_{1}. Substituindo x_{1}=2: \frac{31}{6}x_{2}+\frac{4}{3}\cdot 2=-\frac{5}{2}.
\frac{31}{6}x_{2}+\frac{8}{3}=-\frac{5}{2}.
Converter para denominador comum 6:
\frac{31}{6}x_{2}+\frac{16}{6}=-\frac{15}{6}\quad\Rightarrow\quad \frac{31}{6}x_{2}=-\frac{31}{6}.
Assim x_{2}=-1.
  • Usando a primeira linha: 6\,x_{\text{col }1}+1\cdot x_{\text{col }2}+2\cdot x_{\text{col }3}=21.Aqui x_{\text{col }1}=x_{3},\;x_{\text{col }2}=x_{2},\;x_{\text{col }3}=x_{1}. Substituindo x_{2}=-1 e x_{1}=2: 6x_{3}+(-1)+2\cdot 2=21\quad\Rightarrow\quad 6x_{3}+3=21\quad\Rightarrow\quad 6x_{3}=18.Portanto x_{3}=3.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida (sempre bom conferir na prova).
  • Encontramos x_{1}=2,\qquad x_{2}=-1,\qquad x_{3}=3.
  • Checagem nas três equações originais: 2\cdot2+(-1)+6\cdot3=4-1+18=21,
4\cdot2-2\cdot(-1)+1\cdot3=8+2+3=13,
1\cdot2+5\cdot(-1)-1\cdot3=2-5-3=-6.
Tudo confere.

Resposta

x_{1}=2
x_{2}=-1
x_{3}=3

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