O que se pede: encontrar x_{1},x_{2},x_{3} resolvendo o sistema pelo método de pivotação completa (ou seja, em cada passo escolher o pivô com maior módulo na submatriz restante, podendo trocar linhas e colunas; lembrar de registrar as trocas de colunas porque elas mudam a ordem das incógnitas).]
Passo 2
Breve aula prática sobre Pivotação Completa (sem formalismo pesado, só o necessário para a prova).
Objetivo da eliminação de Gauss: transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior para depois aplicar substituição regressiva.
Problema prático: se o pivô é pequeno ou zero, a eliminação fica ruim ou impossível. A pivotação tenta evitar isso.
Pivotação completa: em cada estágio (quando se escolhe o próximo pivô) procura-se o elemento de maior valor absoluto na submatriz que ainda resta (linhas e colunas não eliminadas). Depois:
troca-se a linha que contém esse elemento com a linha do pivô atual (se necessário);
troca-se a coluna que contém esse elemento com a coluna do pivô atual (se necessário).
Troca de colunas muda a ordem das incógnitas; portanto mantém-se um vetor permutação para saber qual coluna corresponde a qual x_i ao final.
Agora monto a matriz aumentada inicial (colunas são, pela ordem original, x_{1},x_{2},x_{3}):
Primeiro passo da pivotação completa: procurar o maior valor absoluto na matriz coeficientes inteira (todas as linhas e colunas disponíveis).
Os valores absolutos são |2|,|1|,|6|,|4|,|{-2}|,|1|,|1|,|5|,|{-1}|. O maior é |6|, que está na posição linha 1, coluna 3.
Queremos que esse elemento fique na posição de pivô (1,1). Então trocamos a coluna 1 com a coluna 3 (para trazer a coluna do pivô para a coluna atual do pivô). Não há necessidade de trocar linhas porque o pivô já está na linha 1.
Registrar a permutação de colunas: a ordem original das incógnitas era (x_{1},x_{2},x_{3}). Após trocar coluna 1\leftrightarrow3, a nova ordem das colunas é (x_{3},x_{2},x_{1}). Vou guardar o vetor de permutação: p=(3,2,1). Isso significa: coluna 1 atual corresponde a x_{3}, coluna 2 a x_{2}, coluna 3 a x_{1}.
A matriz aumentada após a troca de colunas 1\leftrightarrow3 fica:
Calculo o multiplicador para a linha 2: m_{21}=\dfrac{1}{6}. Aplico R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1}.
Cálculo componente a componente:R_{2}=\bigl[1,\,-2,\,4\mid13\bigr]-\frac{1}{6}\bigl[6,\,1,\,2\mid21\bigr] =\bigl[0,\,-2-\tfrac{1}{6},\,4-\tfrac{1}{3}\mid 13-\tfrac{21}{6}\bigr].Simplificando as frações:-2-\tfrac{1}{6}=-\tfrac{13}{6},\qquad 4-\tfrac{1}{3}=\tfrac{11}{3},\qquad 13-\tfrac{21}{6}=13-\tfrac{7}{2}=\tfrac{19}{2}.Logo R_{2}=\bigl[0,\,-\tfrac{13}{6},\,\tfrac{11}{3}\mid\tfrac{19}{2}\bigr].
Calculo o multiplicador para a linha 3: m_{31}=\dfrac{-1}{6}=-\tfrac{1}{6}. Aplico R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{31}R_{1}=R_{3}+\tfrac{1}{6}R_{1}.R_{3}=\bigl[-1,\,5,\,1\mid-6\bigr]+\frac{1}{6}\bigl[6,\,1,\,2\mid21\bigr] =\bigl[0,\,5+\tfrac{1}{6},\,1+\tfrac{1}{3}\mid -6+\tfrac{21}{6}\bigr].Simplificando:5+\tfrac{1}{6}=\tfrac{31}{6},\qquad 1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3},\qquad -6+\tfrac{21}{6}=-6+3{,}5=-\tfrac{5}{2}.Logo R_{3}=\bigl[0,\,\tfrac{31}{6},\,\tfrac{4}{3}\mid -\tfrac{5}{2}\bigr].
A matriz aumentada após a eliminação do primeiro pivô é:
Segundo passo de pivotação completa: olhar a submatriz que resta (linhas e colunas 2 e 3, i.e. a parte à direita e abaixo do pivô já usado) e escolher o elemento de maior módulo.
Os módulos são \tfrac{13}{6}\approx2{,}1667, \tfrac{11}{3}\approx3{,}6667, \tfrac{31}{6}\approx5{,}1667, \tfrac{4}{3}\approx1{,}3333. O maior módulo é \tfrac{31}{6}, que está na posição (linha 3, coluna 2) da matriz aumentada.
Queremos que esse elemento fique na posição de pivô (2,2). Para isso trocamos a linha 2 com a linha 3. Não é preciso trocar colunas porque o pivô já está na coluna 2.
Após trocar R_{2}\leftrightarrow R_{3}, a matriz fica:
Assim a terceira linha após a operação é \bigl[0,\,0,\,\tfrac{131}{31}\mid\tfrac{262}{31}\bigr].
A matriz aumentada em forma triangular superior é então
Substituição regressiva para encontrar as incógnitas na ordem das colunas atuais.
A ordem atual das colunas (registrada em p) é (x_{3},x_{2},x_{1}). Ou seja:
Coluna 1 atual corresponde a x_{3},
Coluna 2 atual corresponde a x_{2},
Coluna 3 atual corresponde a x_{1}.
Da terceira equação (linha 3) temos:\frac{131}{31}\cdot x_{\text{col }3}=\frac{262}{31}.Aqui x_{\text{col }3} é a variável associada à coluna 3 atual, ou seja x_{1}. Resolve-se:x_{1}=\frac{\tfrac{262}{31}}{\tfrac{131}{31}}=\frac{262}{131}=2.
Usando a segunda linha:\frac{31}{6}\,x_{\text{col }2}+\frac{4}{3}\,x_{\text{col }3}=-\frac{5}{2}.Aqui x_{\text{col }2}=x_{2} e x_{\text{col }3}=x_{1}. Substituindo x_{1}=2:\frac{31}{6}x_{2}+\frac{4}{3}\cdot 2=-\frac{5}{2}.