Exercício computacional, opcional [Sistema de Equações de uma Rede Elétrica] Considere uma rede elétrica com 10 nós, onde a matriz A representa as condutâncias entre os nós (matriz esparsa) e o vetor \vec{b} as correntes injetadas (corrente injetada apenas no nó 1 ). Considere que matriz aumentada [A \mid b] é formada por
A=\left[\begin{array}{cccccccccc} 4 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 5 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 4 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 4 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0 & 0 & 5 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 6 & -1 & 0 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 5 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 4 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 3 \end{array}\right] \text { e } \vec{b}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{array}\right] .
Na diagonal principal a_{i i}= é a soma das condutâncias conectadas ao nó i. Os elementos fora da diagonal a_{i j}=-g_{i j} representam a condutância entre os nós i e j, se houver conexão. Se o vetor X é solução, então cada componente x_{i} de X representa o potencial elétrico (em volts) no nó i (em relação à um referencial).
Use o comando RowReduce para investigar a existência de soluções para o sistema linear acima.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear
A X = \vec b
onde A é uma matriz 10\times10 simétrica (esparsa) e
\vec b = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
O objetivo é usar eliminação de Gauss (comando RowReduce em um software de álgebra) para investigar se existe solução e, em caso afirmativo, se ela é única. Em teoria de matrizes, comparamos \rank(A) e \rank([A\mid \vec b]) para saber consistência, e vemos se \rank(A)=10 para unicidade.

Passo 2

Aplicando RowReduce em [A\mid \vec b], o software efetua pivoteamento e eliminações, produzindo uma forma escalonada reduzida que, para este A, não gera linhas do tipo
0\;0\;\cdots\;0 \;\bigm|\; c,\qquad c\neq0.
Além disso, em cada etapa de eliminação o pivô nunca é zero porque A é estritamente diagonal dominante (cada a_{ii} é maior que a soma dos \lvert a_{ij}\rvert da linha). Logo \rank(A)=10.

Passo 3

Como \rank(A)=10 e não há linha inconsistente em [A\mid \vec b], temos
\rank(A)=\rank([A\mid \vec b])=10.
Isto garante que o sistema é compatível determinado, ou seja, existe exatamente uma solução.

Resposta

O sistema é compatível determinado e possui solução única.

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