\begin{cases} 2x + 4y - z = 2,\\[4pt] - x -3y -2z = 4,\\[4pt] 3x - y +4z = -3. \end{cases}
O que precisamos encontrar é o triplo ((x,y,z)] que satisfaz as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminação por linhas). Por que? É um método padrão para sistemas lineares 3×3, usa operações elementares nas linhas para transformar o sistema numa forma triangular e então resolver por substituição. As operações elementares permitidas são:
trocar duas linhas,
multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
A ideia é obter uma matriz triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal) e então fazer substituição para obter z, depois y e por fim x (back-substitution). Vou aplicar essas operações passo a passo e explicar cada cálculo.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada (A|\mathbf b) do sistema para trabalhar com as linhas:
Agora temos forma triangular superior — pronto para substituição (resolver a partir de baixo).]
Passo 9
Da terceira linha obtemos diretamente z. A terceira linha diz:
23z = -41 \quad\Rightarrow\quad z = \dfrac{-41}{23}.
Podemos também escrever z = -\dfrac{82}{46} se quisermos denominador comum 46 com as outras incógnitas (vai facilitar somas no próximo passo), mas manterei z = -\dfrac{41}{23} inicialmente.
Passo 10
Agora substituo z na segunda linha para achar y. A segunda linha é:
Converto -5 para denominador 46: -5 = -\dfrac{230}{46}. Assim
y = -\dfrac{230}{46} + \dfrac{205}{46} = -\dfrac{25}{46}.
Portanto y = -\dfrac{25}{46}. (Confirmando que, se usássemos z=-\tfrac{82}{46}, teríamos y=-5 - \tfrac{5}{2}\cdot(-\tfrac{82}{46})=-5+\tfrac{410}{92}=-5+\tfrac{205}{46}=-\tfrac{25}{46}, mesmo resultado.)
Passo 11
Finalmente, uso a primeira linha para achar x. A primeira linha diz: