Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
\left[\begin{array}{rrr}2 & 4 & -1 \\\\ -1 & -3 & -2 \\\\ 3 & -1 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 4 \\\\ -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas e pede a solução [(x,y,z)). As informações fornecidas são:
\begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\\\ -1 & -3 & -2 \\\\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\\ y \\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\\\ 4 \\\\ -3 \end{pmatrix}
Portanto, as equações são, linha a linha:
\begin{cases} 2x + 4y - z = 2,\\[4pt] - x -3y -2z = 4,\\[4pt] 3x - y +4z = -3. \end{cases}
O que precisamos encontrar é o triplo ((x,y,z)] que satisfaz as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminação por linhas). Por que? É um método padrão para sistemas lineares 3×3, usa operações elementares nas linhas para transformar o sistema numa forma triangular e então resolver por substituição. As operações elementares permitidas são:
  • trocar duas linhas,
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
A ideia é obter uma matriz triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal) e então fazer substituição para obter z, depois y e por fim x (back-substitution). Vou aplicar essas operações passo a passo e explicar cada cálculo.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada (A|\mathbf b) do sistema para trabalhar com as linhas:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 4 & -1 & 2\\[4pt] -1 & -3 & -2 & 4\\[4pt] 3 & -1 & 4 & -3 \end{array}\right]
Cada linha representa uma equação; vou usar denotações R_1,R_2,R_3 para as linhas 1, 2 e 3.]

Passo 4

Quero um pivô fácil na primeira linha. Troco R_1 com R_2 para trazer o elemento -1 para cima (isso facilita obter pivot igual a 1 em seguida):
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
Resultados:
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & -3 & -2 & 4\\[4pt] 2 & 4 & -1 & 2\\[4pt] 3 & -1 & 4 & -3 \end{array}\right]]

Passo 5

Multiplico a nova R_1 por -1 para obter pivô 1 na posição (1,1):
Operação: R_1 \leftarrow -1\cdot R_1.
Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -4\\[4pt] 2 & 4 & -1 & 2\\[4pt] 3 & -1 & 4 & -3 \end{array}\right]
Agora o pivô é \,1 na primeira linha, primeira coluna. A partir daqui, uso R_1 para zerar os elementos abaixo (coluna 1).]

Passo 6

Eliminação na coluna 1:
  • Para zerar o elemento da linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculemos cada componente:
R_2 = [2,\,4,\,-1\,|\,2] - 2\cdot[1,\,3,\,2\,|\,-4] = [2-2,\,4-6,\, -1-4\,|\,2+8]
\Rightarrow R_2 = [0,\, -2,\, -5\,|\,10].
  • Para zerar o elemento da linha 3: R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos:
R_3 = [3,\,-1,\,4\,|\,-3] - 3\cdot[1,\,3,\,2\,|\,-4] = [3-3,\, -1-9,\, 4-6\,|\, -3+12]
\Rightarrow R_3 = [0,\, -10,\, -2\,|\,9].
Matriz aumentada agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -4\\[4pt] 0 & -2 & -5 & 10\\[4pt] 0 & -10 & -2 & 9 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora o pivô da segunda linha é -2 na posição (2,2). Para facilitar a eliminação, faço R_2 com pivô 1 dividindo por -2:
Operação: R_2 \leftarrow \dfrac{1}{-2}\,R_2.
Calculando:
R_2 = \frac{1}{-2}\,[0,\, -2,\, -5\,|\,10] = [0,\,1,\,\tfrac{5}{2}\,|\,-5].
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -4\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{5}{2} & -5\\[4pt] 0 & -10 & -2 & 9 \end{array}\right]]

Passo 8

Eliminação usando o pivô 1 em R_2 para zerar R_1 na coluna 2 e R_3 na coluna 2.
  • Para zerar em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2.
Calculemos componente a componente:
R_1 = [1,\,3,\,2\,|\,-4] - 3\cdot[0,\,1,\,\tfrac{5}{2}\,|\,-5]
= [1,\,3-3,\, 2 - \tfrac{15}{2}\,|\,-4 +15]
= [1,\,0,\,\tfrac{4}{2}-\tfrac{15}{2}\,|\,11] = [1,\,0,\,-\tfrac{11}{2}\,|\,11].
  • Para zerar em R_3: R_3 \leftarrow R_3 + 10R_2.
Calculemos:
R_3 = [0,\,-10,\,-2\,|\,9] + 10\cdot[0,\,1,\,\tfrac{5}{2}\,|\,-5]
= [0,\,0,\, -2 + 10\cdot\tfrac{5}{2}\,|\, 9 -50]
= [0,\,0,\, -2 +25\,|\, -41] = [0,\,0,\,23\,|\, -41].
A matriz aumentada fica então:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{11}{2} & 11\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{5}{2} & -5\\[6pt] 0 & 0 & 23 & -41 \end{array}\right]
Agora temos forma triangular superior — pronto para substituição (resolver a partir de baixo).]

Passo 9

Da terceira linha obtemos diretamente z. A terceira linha diz:
23z = -41 \quad\Rightarrow\quad z = \dfrac{-41}{23}.
Podemos também escrever z = -\dfrac{82}{46} se quisermos denominador comum 46 com as outras incógnitas (vai facilitar somas no próximo passo), mas manterei z = -\dfrac{41}{23} inicialmente.

Passo 10

Agora substituo z na segunda linha para achar y. A segunda linha é:
y + \tfrac{5}{2}z = -5.
Substituindo z = -\dfrac{41}{23}:
y = -5 - \tfrac{5}{2}\cdot\left(-\dfrac{41}{23}\right) = -5 + \dfrac{5\cdot 41}{2\cdot 23} = -5 + \dfrac{205}{46}.
Converto -5 para denominador 46: -5 = -\dfrac{230}{46}. Assim
y = -\dfrac{230}{46} + \dfrac{205}{46} = -\dfrac{25}{46}.
Portanto y = -\dfrac{25}{46}. (Confirmando que, se usássemos z=-\tfrac{82}{46}, teríamos y=-5 - \tfrac{5}{2}\cdot(-\tfrac{82}{46})=-5+\tfrac{410}{92}=-5+\tfrac{205}{46}=-\tfrac{25}{46}, mesmo resultado.)

Passo 11

Finalmente, uso a primeira linha para achar x. A primeira linha diz:
x - \tfrac{11}{2}z = 11.
Isolando x:
x = 11 + \tfrac{11}{2}z.
Substituo z = -\dfrac{41}{23}:
x = 11 + \tfrac{11}{2}\cdot\left(-\dfrac{41}{23}\right) = 11 - \dfrac{11\cdot 41}{2\cdot 23} = 11 - \dfrac{451}{46}.
Transformo 11 para denominador 46: 11 = \dfrac{506}{46}. Então
x = \dfrac{506}{46} - \dfrac{451}{46} = \dfrac{55}{46}.
Portanto x = \dfrac{55}{46}.
(Uma forma compacta: todos juntos (x,y,z) = \dfrac{1}{46}(55,\,-25,\,-82), já que z=-\dfrac{41}{23}=-\dfrac{82}{46}.)

Passo 12

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): substituindo na primeira equação
2x+4y-z = 2\\ \Rightarrow\\\ 2\cdot\frac{55}{46}+4\cdot\left(-\frac{25}{46}\right)-\left(-\frac{82}{46}\right) =\frac{110-100+82}{46}=\frac{92}{46}=2,
funciona. As outras duas equações também conferem (pode checar do mesmo modo).

Resposta

\left(\dfrac{55}{46},-\dfrac{25}{46},-\dfrac{41}{23}\right)

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