Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas. Ele pede encontrar os valores de [x), y e z. As informações dadas são:
\begin{cases} x+y+z=-1,\\[4pt] 2x+y-z=2,\\[4pt] 3x-y+z=5. \end{cases}
Ou, na forma matricial (dados do enunciado):
\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\[2pt] 2 & 1 & -1 \\[2pt] 3 & -1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{l}x \\[2pt] y \\[2pt] z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}-1 \\[2pt] 2 \\[2pt] 5\end{array}\right].
O que eu preciso encontrar: os valores numéricos de x\], \(y e z.]

Passo 2

Vou resolver o sistema por eliminação de Gauss (ou escalonamento). Primeiro transformamos o sistema na matriz aumentada, que é a matriz dos coeficientes com a coluna dos termos independentes à direita:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 5 \end{array}\right].
Explicação rápida: cada linha representa uma equação; operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha em outra) correspondem a manipulações equivalentes das equações que não mudam o conjunto solução. Vou usar essas operações para obter uma forma triangular superior.]

Passo 3

Eliminação na primeira coluna para zerar os elementos abaixo do pivô 1 (primeiro elemento da primeira linha).
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Cálculo termo a termo:
\begin{aligned} 2 - 2\cdot 1 &= 0,\\\\ 1 - 2\cdot 1 &= -1,\\\\ -1 - 2\cdot 1 &= -3,\\\\ 2 - 2\cdot(-1) &= 2 + 2 = 4. \end{aligned}
Faço R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Cálculo termo a termo:
\begin{aligned} 3 - 3\cdot 1 &= 0,\\\\ -1 - 3\cdot 1 &= -4,\\\\ 1 - 3\cdot 1 &= -2,\\\\ 5 - 3\cdot(-1) &= 5 + 3 = 8. \end{aligned}
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -1 & -3 & 4\\[4pt] 0 & -4 & -2 & 8 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora uso o pivô da segunda linha, -1 na posição (2,2), para zerar o elemento abaixo dele na coluna 2. Faço R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2. Cálculo termo a termo:
Para a coluna 2: -4 - 4\cdot(-1) = -4 + 4 = 0.
Para a coluna 3: -2 - 4\cdot(-3) = -2 + 12 = 10.
Para o lado direito: 8 - 4\cdot 4 = 8 - 16 = -8.
A matriz aumentada torna-se:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -1 & -3 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 10 & -8 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora a terceira linha dá uma equação apenas em z. A equação correspondente é 10z = -8. Assim:
z = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}.
Breve explicação: quando a matriz está triangular superior, a última linha normalmente fornece diretamente uma incógnita (a de maior índice), que usamos para substituir nas linhas acima — isso é a retro-substituição.

Passo 6

Usando a segunda linha (que representa -y - 3z = 4) para encontrar y. Escrevendo claramente a equação da segunda linha:
-1\cdot y \;+\; (-3)\cdot z \;=\; 4,
ou seja
-y - 3z = 4.
Isolando y:
-y = 4 + 3z \quad\Rightarrow\quad y = -4 - 3z.
Substituo z = -\tfrac{4}{5}:
y = -4 - 3\left(-\tfrac{4}{5}\right) = -4 + \tfrac{12}{5} = -\tfrac{20}{5} + \tfrac{12}{5} = -\tfrac{8}{5}.
Portanto y = -\tfrac{8}{5}.

Passo 7

Finalmente uso a primeira equação x + y + z = -1 para encontrar x. Isolando x:
x = -1 - y - z.
Substituo y = -\tfrac{8}{5} e z = -\tfrac{4}{5}:
x = -1 -\left(-\tfrac{8}{5}\right) -\left(-\tfrac{4}{5}\right) = -1 + \tfrac{8}{5} + \tfrac{4}{5} = -1 + \tfrac{12}{5} = -\tfrac{5}{5} + \tfrac{12}{5} = \tfrac{7}{5}.
Portanto x = \tfrac{7}{5}.

Passo 8

Checagem rápida (substituir de volta nas equações originais):
Primeira equação: x+y+z = \tfrac{7}{5} - \tfrac{8}{5} - \tfrac{4}{5} = \tfrac{7-8-4}{5} = \tfrac{-5}{5} = -1. OK.
Segunda: 2x+y-z = 2\cdot\tfrac{7}{5} - \tfrac{8}{5} - \left(-\tfrac{4}{5}\right) = \tfrac{14-8+4}{5} = \tfrac{10}{5} = 2. OK.
Terceira: 3x - y + z = 3\cdot\tfrac{7}{5} - \left(-\tfrac{8}{5}\right) - \tfrac{4}{5} = \tfrac{21+8-4}{5} = \tfrac{25}{5} = 5. OK.
A solução conferida satisfaz todas as equações.

Resposta

\displaystyle x=\tfrac{7}{5},\; y=-\tfrac{8}{5},\; z=-\tfrac{4}{5}

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