As incógnitas que precisamos encontrar são x, y e z. O objetivo é achar o vetor solução \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} que satisfaz as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Método escolhido: eliminação de Gauss (redução por linhas). Por que? Porque é um procedimento direto para resolver sistemas lineares: transformamos a matriz aumentada por operações elementares de linha até obter uma forma triangular (ou reduzida), e daí obtemos as incógnitas por substituição. Operações elementares permitidas (que não mudam o conjunto de soluções) são:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Vou aplicar essas operações passo a passo e explicar cada conta.
Passo 3
Escrevemos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]:
Explicação: dividir uma linha por um número não nulo apenas escala a linha, preservando soluções, e facilita eliminar números nas mesmas coluna.]
Passo 7
Eliminamos as outras entradas da coluna 2:
Para zerar R_3 na coluna 2: R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2.
Para zerar R_1 na coluna 2 (que é -1): R_1 \leftarrow R_1 + R_2.
Calculemos:
Para R_3 - 4R_2: R_3=(0,4,-5,12) e 4R_2=(0,4,4,12), então R_3-4R_2=(0,0,-9,0).
Para R_1 + R_2: R_1=(1,-1,1,-5) e R_2=(0,1,1,3), então R_1+R_2=(1,0,2,-2).
Verificação rápida (substituir na equação original) para ter certeza:
Primeira equação: -1\cdot(-2)+1\cdot3-1\cdot0 = 2+3-0=5 (confere com 5).
Segunda: 1\cdot(-2)+2\cdot3+4\cdot0 = -2+6+0=4 (confere com 4).
Terceira: 3\cdot(-2)+1\cdot3-2\cdot0 = -6+3+0=-3 (confere com -3).
Tudo bate, portanto a solução está correta.