Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
\left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 2 & 4 \\\\ 3 & 1 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}5 \\\\ 4 \\\\ -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear dado pela multiplicação matricial
\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 2 & 4\\[4pt] 3 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\[4pt]4\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
As incógnitas que precisamos encontrar são x, y e z. O objetivo é achar o vetor solução \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} que satisfaz as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss (redução por linhas). Por que? Porque é um procedimento direto para resolver sistemas lineares: transformamos a matriz aumentada por operações elementares de linha até obter uma forma triangular (ou reduzida), e daí obtemos as incógnitas por substituição. Operações elementares permitidas (que não mudam o conjunto de soluções) são:
  1. trocar duas linhas;
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  3. somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
    Vou aplicar essas operações passo a passo e explicar cada conta.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 1 & -1 & 5\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 4\\[4pt] 3 & 1 & -2 & -3 \end{array}\right].
A ideia é criar um 1 (pivô) na primeira coluna e eliminar abaixo dele.]

Passo 4

Torna mais simples o pivô na primeira linha multiplicando a primeira linha por -1:
R_1 \leftarrow -1\cdot R_1.
Resultado:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 1 & -5\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 4\\[4pt] 3 & 1 & -2 & -3 \end{array}\right].
Agora temos pivô 1 em posição (1,1).]

Passo 5

Eliminamos as entradas abaixo do pivô usando combinações lineares:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos cada nova linha:
Para R_2: \begin{array}{l}1-1=0,\\[2pt]2-(-1)=3,\\[2pt]4-1=3,\\[2pt]4-(-5)=9.\end{array}
Para R_3: calcular R_3-3R_1 com 3R_1=(3,-3,3,-15): \begin{array}{l}3-3=0,\\[2pt]1-(-3)=4,\\[2pt]-2-3=-5,\\[2pt]-3-(-15)=12.\end{array}
Assim obtemos:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 1 & -5\\[4pt] 0 & 3 & 3 & 9\\[4pt] 0 & 4 & -5 & 12 \end{array}\right].]

Passo 6

Normalizamos a segunda linha para ter pivô 1 na posição (2,2) dividindo por 3:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2.
Isso dá
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 1 & -5\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 4 & -5 & 12 \end{array}\right].
Explicação: dividir uma linha por um número não nulo apenas escala a linha, preservando soluções, e facilita eliminar números nas mesmas coluna.]

Passo 7

Eliminamos as outras entradas da coluna 2:
  • Para zerar R_3 na coluna 2: R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2.
  • Para zerar R_1 na coluna 2 (que é -1): R_1 \leftarrow R_1 + R_2.
Calculemos:
Para R_3 - 4R_2: R_3=(0,4,-5,12) e 4R_2=(0,4,4,12), então R_3-4R_2=(0,0,-9,0).
Para R_1 + R_2: R_1=(1,-1,1,-5) e R_2=(0,1,1,3), então R_1+R_2=(1,0,2,-2).
Resultado:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -9 & 0 \end{array}\right].]

Passo 8

Agora tratamos a terceira linha. Dividimos R_3 por -9 para obter pivô 1:
R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{9}R_3 = (0,0,1,0).
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
Agora eliminamos as entradas acima do pivô na coluna 3 (fazendo a forma reduzida):
  • R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3.
  • R_2 \leftarrow R_2 - 1R_3.
Aplicando:
Para R_1 - 2R_3: (1,0,2,-2)-2(0,0,1,0)=(1,0,0,-2).
Para R_2 - R_3: (0,1,1,3)-(0,0,1,0)=(0,1,0,3).
Assim obtemos a matriz identidade à esquerda e a solução à direita:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
Isto corresponde às soluções \,x=-2,\;y=3,\;z=0.]

Passo 9

Verificação rápida (substituir na equação original) para ter certeza:
Primeira equação: -1\cdot(-2)+1\cdot3-1\cdot0 = 2+3-0=5 (confere com 5).
Segunda: 1\cdot(-2)+2\cdot3+4\cdot0 = -2+6+0=4 (confere com 4).
Terceira: 3\cdot(-2)+1\cdot3-2\cdot0 = -6+3+0=-3 (confere com -3).
Tudo bate, portanto a solução está correta.

Resposta

x=-2
y=3
z=0

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