Encontre a solução dos sistemas lineares abaixo.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & -1 \\\\ 2 & -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}6 \\\\ -4 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do sistema linear cujas equações estão dadas pela multiplicação da matriz
\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & -1 & -1 \\[4pt] 2 & -1 & 1\end{pmatrix}
pelo vetor coluna
\begin{pmatrix}x \\[4pt] y \\[4pt] z\end{pmatrix}
igual ao vetor
\begin{pmatrix}6 \\[4pt] -4 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Ou seja, o que nos dão são as três equações (uma por linha da multiplicação) e o que nos pedem é os valores de x, y e z que satisfazem todas as três simutaneamente. As informações relevantes são:
\begin{cases} \text{Coeficientes (matriz)}: & \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & -1 & -1 \\[4pt] 2 & -1 & 1\end{pmatrix},\\[6pt] \text{Vetor de incógnitas}: & \begin{pmatrix}x \\[4pt] y \\[4pt] z\end{pmatrix},\\[6pt] \text{Termos independentes}: & \begin{pmatrix}6 \\[4pt] -4 \\[4pt] 1\end{pmatrix}. \end{cases}ó]

Passo 2

Vou resolver pelo método da eliminação gaussiana (redução por linhas). Antes de começar, uma mini-aula rápida e prática sobre esse método:
  • Escrevemos o sistema como uma matriz aumentada \big[A\mid b\big], que junta coeficientes e termos independentes. Isso é só um jeito organizado de trabalhar.
  • Operações permitidas (que não mudam a solução): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a uma linha outra linha multiplicada por escalar.
  • Objetivo: transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior (ou melhor, na forma escalonada reduzida), de modo a obter facilmente os valores das incógnitas por substituição regressiva.
  • Em cada etapa escolhemos um pivô: um elemento não nulo na posição atual que usamos para zerar as entradas abaixo dele na mesma coluna.
Agora aplicamos essas operações passo a passo.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada inicial \big[A\mid b\big]:
\left[\begin{array}{ccc|r} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 1 & -1 & -1 & -4\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Zeramos as entradas abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)). Usamos:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1
Calculemos cada linha:
  • R_2 - R_1 = (1-1,\\\ -1-1,\\\ -1-1,\\\ -4-6) = (0,\\\ -2,\\\ -2,\\\ -10).
  • R_3 - 2R_1 = (2-2,\\\ -1-2,\\\ 1-2,\\\ 1-12) = (0,\\\ -3,\\\ -1,\\\ -11).
A matriz aumentada vira:
\left[\begin{array}{ccc|r} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -2 & -2 & -10\\[4pt] 0 & -3 & -1 & -11 \end{array}\right]]

Passo 5

Para simplificar, transformamos a segunda linha para que o pivô da segunda coluna fique igual a 1. Fazemos R_2 \leftarrow \dfrac{1}{-2}R_2, isto é dividimos a linha por -2:
R_2 = \left(0,\\\ 1,\\\ 1,\\\ 5\right).
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|r} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & -3 & -1 & -11 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora usamos o pivô 1 em (2,2) para zerar a entrada abaixo dele em (3,2). Fazemos R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2.
Calculemos:
  • A segunda coluna: -3 + 3\cdot 1 = 0.
  • A terceira coluna: -1 + 3\cdot 1 = 2.
  • O termo independente: -11 + 3\cdot 5 = -11 +15 = 4.
Assim R_3 = (0,\\\ 0,\\\ 2,\\\ 4). A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|r} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right]]

Passo 7

Transformamos o pivô da terceira linha em 1 dividindo a terceira linha por 2: R_3 \leftarrow \dfrac{1}{2}R_3. Então R_3 = (0,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 2). A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|r} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]]

Passo 8

Agora que temos pivôs iguais a 1 em cada linha, fazemos a eliminação acima deles (redução para forma escalonada reduzida), ou seja, zeramos as entradas acima do pivô da terceira coluna:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_3
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_3
Calculemos:
  • Para R_2: (0,\\\ 1,\\\ 1,\\\ 5) - (0,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 2) = (0,\\\ 1,\\\ 0,\\\ 3).
  • Para R_1: (1,\\\ 1,\\\ 1,\\\ 6) - (0,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 2) = (1,\\\ 1,\\\ 0,\\\ 4).
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|r} 1 & 1 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]]

Passo 9

Zeramos a entrada acima do pivô da segunda coluna (posição (1,2)) usando R_1 \leftarrow R_1 - R_2:
  • R_1 = (1,\\\ 1,\\\ 0,\\\ 4) - (0,\\\ 1,\\\ 0,\\\ 3) = (1,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 1).
Agora a matriz está na forma:
\left[\begin{array}{ccc|r} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]
Isso já nos dá diretamente os valores das incógnitas pela leitura das linhas.]

Passo 10

Verificação rápida (substituição nas equações originais) para termos confiança:
  • Primeira equação original: 1\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z = 6. Com (x,y,z)=(1,3,2) temos 1+3+2=6. OK.
  • Segunda: 1\cdot x -1\cdot y -1\cdot z = -4. Com os valores: 1-3-2=-4. OK.
  • Terceira: 2\cdot x -1\cdot y +1\cdot z = 1. Com os valores: 2-3+2=1. OK.
Todas as três equações são satisfeitas.

Resposta

x=1
y=3
z=2

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