Utilizar o método Newton-Raphson para encontrar uma aproximação decimal para ln (13)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o método de Newton–Raphson pra achar uma aproximação decimal de . Isso cai na matéria de métodos numéricos, mais especificamente em raiz de funções. A ideia é escrever como a raiz de alguma função , achar sua derivada e aplicar o esquema iterativo de Newton. Vamos precisar de:
  1. Definir .
  2. Saber que .
  3. Escolher um chute inicial e iterar até a diferença entre iterações ficar pequena.

Passo 2

Explicando o método rapidinho:
Newton–Raphson tenta resolver xn+1 ;=; xn - f(xn)f'(xn) aproximando grafico de f(x)=e^x-13, f'(x)=e^x, por uma reta em torno de xn+1 ;=; xn - e^xn-13e^xn ;=; xn - 1 + 13,e^-xn . A fórmula de iteração é
No nosso caso,
logo

Passo 3

Agora é escolher um chute inicial. Como x0 = 2.5 (bem próximo de 13), vamos usar
f(x0)=e^2.5-13approx12.1825-13=-0.8175, f'(x0)=e^2.5approx12.1825
Calculamos:
x1 = 2.5 - -0.817512.1825 = 2.5 + 0.06707 approx 2.56707
Então

Passo 4

Vamos de novo:
f(x1)=e^2.56707-13approx13.0234-13=0.0234, f'(x1)=e^2.56707approx13.0234,
x2 = 2.56707 - 0.023413.0234 approx 2.56707 - 0.00180 = 2.56527

Passo 5

Mais uma iteração pra garantir precisão:
f(x2)=e^2.56527-13approx13.00002-13=0.00002, f'(x2)approx13.00002,
x3 = 2.56527 - 0.0000213.00002 approx 2.56527 - 0.0000015 approx 2.56527
A diferença já é menor que , então paramos.

Resposta

ln(13)approx 2.56527

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