Questão 3 Encontre a aproximação da integral abaixo usando a regra de Simpson composta \operatorname{com} N=4.
\int_{0}^{1} \frac{4}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a aproximação pela regra de Simpson composta da integral
\int_{0}^{1}\frac{4}{1+x^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração numérica usando a fórmula de Simpson composta, que requer dividir o intervalo [0,1] em N=4 subintervalos de mesma largura h e aplicar a combinação de pesos 1,4,2,4,1.

Passo 2

Calcular a largura de cada subintervalo e os nós de amostragem.
h = \frac{1-0}{4} = 0{,}25.
Os nós são
x_i = 0 + i\,h,\quad i=0,1,2,3,4,
isto é
x_0=0,\;x_1=0{,}25,\;x_2=0{,}50,\;x_3=0{,}75,\;x_4=1{,}0.

Passo 3

Avaliar a função f(x)=\frac{4}{1+x^{2}} em cada nó:
f(x_0)=\frac{4}{1+0^2}=4,
f(x_1)=\frac{4}{1+(0{,}25)^2}=\frac{4}{1{,}0625}=\frac{64}{17}\approx3{,}7647059,
f(x_2)=\frac{4}{1+(0{,}50)^2}=\frac{4}{1{,}25}=3{,}2,
f(x_3)=\frac{4}{1+(0{,}75)^2}=\frac{4}{1{,}5625}=\frac{64}{25}=2{,}56,
f(x_4)=\frac{4}{1+1^2}=2.

Passo 4

Aplicar a fórmula da regra de Simpson composta:
\int_{0}^{1}f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)\bigr).
Substituindo os valores:
\frac{0{,}25}{3}\bigl(4 + 4\cdot3{,}7647059 + 2\cdot3{,}2 + 4\cdot2{,}56 + 2\bigr).

Passo 5

Calcular a soma interna:
4 + 4\cdot3{,}7647059 + 2\cdot3{,}2 + 4\cdot2{,}56 + 2 = 37{,}6988235.
Multiplicando por h/3 = 0{,}25/3 \approx 0{,}08333333:
I \approx 0{,}08333333 \times 37{,}6988235 \approx 3{,}1415686.

Resposta

Aproximação pela regra de Simpson composta com N=4:
\boxed{3{,}14157}.

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