Enuncie e demonstre o critério de Sassenfeld.
Passo 1
O enunciado pede para enunciar e demonstrar o critério de Sassenfeld, que é um teste suficiente para garantir a convergência do método de Gauss–Seidel na solução iterativa de um sistema linear
onde
é uma matriz quadrada de ordem
. Vamos precisar conhecer a decomposição de
em
(com
diagonal,
estritamente triangular inferior e
estritamente triangular superior), a construção da matriz de iteração de Gauss–Seidel e a definição dos coeficientes de Sassenfeld.
Passo 2
Decompondo
, o método de Gauss–Seidel gera a iteração
A matriz de iteração é
Sabemos que o método converge para a solução exata qualquer que seja
se, e somente se, o raio espectral satisfy
Passo 3
Definimos agora os coeficientes de Sassenfeld
de forma recursiva:
e, para
,
Em seguida definimos
Passo 4
Enumeração do critério de Sassenfeld.
Se
Se
então o método de Gauss–Seidel converge para a solução de
a partir de qualquer
.
Passo 5
Demonstração.
- Considere o vetor de pesos
- Seja
. Vamos estimar a norma induzida pelo máximo -pesado: - Mostra-se, usando a definição de
e o fato de que , que cada linha de soma em módulo no máximo a . Logo - Dessa desigualdade segue que
o que garante a convergência da sequência para a solução exata de .
Resposta
O critério de Sassenfeld afirma que, definindo-se os coeficientes
e
, se
então o método de Gauss–Seidel converge.