Questão 3: Desceja-se obter, por una solução numérica, a integral I=\int_{0}^{8} \frac{1}{x+8} d x. Assim, as seguintes afirmações foram feitas:
I. (1.5 ponto) Pela Regra dos Trapézios repetida com n=7, obtém-se I_{T}=0,6944.
II. ( 1,0 ponto) Pela Regra ( 1 / 3 ) de Simpson repetida, o número mínimo de subdivisões n do intervalo [0,8] para obter \left|E_{S}\right|<10^{-4} é n=6.
III. (1.5 ponto) Pela Regra (1/3) de Simpson repetida com o valor mínimo de n que você encontrou nos cálculos do item (II), obtém-se I_{S}=0,6932.
Faça os cálculos das afirmações I. II, III e assinale a alterınativa correta, onde V é verdadeira e F é falsa:
(a) Todas são V.
(b) (I) e (III) são V.
(c) (II) é V.
(d) (III) é F.
(2) n.r.a.

Passo 1

O enunciado pede para estimar
I = \int_{0}^{8} \frac{1}{x+8}\,dx
usando (1) a Regra dos Trapézios repetida com n=7, (2) a Regra 1/3 de Simpson repetida para garantir \lvert E_{S}\rvert<10^{-4} e (3) aplicar Simpson com esse n. No final devemos dizer quais afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F).

Passo 2

Aplicando a Regra dos Trapézios repetida com n=7:
h = \frac{8-0}{7} = 1,142857\dots
Os pontos são x_i = 0 + i\,h, i=0,\dots,7, e f(x)=1/(x+8). Calcula-se
I_{T} = h\Bigl[\tfrac{f(x_{0})+f(x_{7})}{2} + \sum_{i=1}^{6}f(x_{i})\Bigr]\approx 0,6943.
Isso confirma a afirmativa I ( I_{T}=0,6944 dentro de arredondamento).

Passo 3

Erro da Regra 1/3 de Simpson repetida satisfaz
\lvert E_{S}\rvert \le \frac{(b-a)}{180}\,h^{4}\,\max_{[0,8]}\bigl\lvert f^{(4)}(x)\bigr\rvert.
Aqui f^{(4)}(x)=24/(x+8)^{5}, cujo máximo no intervalo ocorre em x=0:
\max\lvert f^{(4)}\rvert = \frac{24}{8^{5}}.
Substituindo h=\tfrac{8}{n} e impondo \lvert E_{S}\rvert<10^{-4} obtém-se
\frac{0,1334}{n^{4}}<10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad n^{4}>1334 \quad\Longrightarrow\quad n>6{,}04.
Como Simpson requer n par, o menor n que atende é n=8, não 6. Logo a afirmativa II é falsa.

Passo 4

Mesmo sabendo que n=6 é insuficiente, calculamos para comparação: com n=6 e h=8/6 a Regra de Simpson dá
I_{S}\approx0,6932.
Isso confirma numericamente a afirmativa III, mas usando n=6 não atenderíamos o critério de erro.

Passo 5

Portanto:
  • I é verdadeira (Regra dos Trapézios dá \approx0,6944).
  • II é falsa (o n mínimo par para \lvert E_{S}\rvert<10^{-4} é 8, não 6).
  • III é verdadeira (com n=6, Simpson dá \approx0,6932, mas não satisfaz o erro).
A alternativa correta é
(b) (I) e (III) são V.

Resposta

(b)

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