2
Verifique se o sistema cumpre o critério de convergência de Gauss-Seidel, caso não cumpra faça alterações para torná-lo convergente. Caso seja ou se torne convergente use o método de Gauss-Seidel utilizando como critério de parada um erro inferior a 1,4.10^{-1} para a matriz
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}=1 \\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
\begin{cases} 2 x_{1}+x_{2}=1,\\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}=-1, \end{cases}
pede para verificar o critério de convergência de Gauss–Seidel e, sendo convergente, aproximar a solução usando critério de parada \varepsilon<1,4\cdot10^{-1}.

Passo 2

Para o critério de convergência por dominância diagonal verificamos cada linha da matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 3 & 4\end{pmatrix}.
Linha 1: \lvert2\rvert>\lvert1\rvert.
Linha 2: \lvert4\rvert>\lvert3\rvert.
Como há dominância estrita em ambas as linhas, o método de Gauss–Seidel converge sem modificações.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel, usando iteração k\to k+1:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1 - x_{2}^{(k)}}{2}, \qquad x_{2}^{(k+1)}=\frac{-1 - 3\,x_{1}^{(k+1)}}{4}.
Adotamos chute inicial \bigl(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)}\bigr)=(0,0).

Passo 4

Iteração 1:
x_{1}^{(1)}=\frac{1-0}{2}=0,5,\qquad x_{2}^{(1)}=\frac{-1-3\cdot0,5}{4}=-0,625.
Erro aproximado \max\bigl\{\lvert0,5-0\rvert,\lvert-0,625-0\rvert\bigr\}=0,625>0,14, continua.

Passo 5

Iteração 2:
x_{1}^{(2)}=\frac{1-(-0,625)}{2}=0,8125,\qquad x_{2}^{(2)}=\frac{-1-3\cdot0,8125}{4}=-0,859375.
Erro \max\{0,8125-0,5,\;0,859375-0,625\}=0,3125>0,14, continua.

Passo 6

Iteração 3:
x_{1}^{(3)}=\frac{1-(-0,859375)}{2}=0,9296875, \quad x_{2}^{(3)}=\frac{-1-3\cdot0,9296875}{4}=-0,947265625.
Erro \max\{\lvert0,9296875-0,8125\rvert,\lvert-0,947265625+0,859375\rvert\}=0,1171875<0,14, critério atendido.

Resposta

O sistema satisfaz o critério de dominância diagonal e converge pelo método de Gauss–Seidel. Em 3 iterações, com \varepsilon<1,4\cdot10^{-1}, obtemos
x_{1}\approx0,9296875,\qquad x_{2}\approx-0,947265625.

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