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Verifique se o critério das linhas é satisfatório e resolva, caso possível, usando Gauss-Jacobi e duas iterações. Apresente o erro relativo.
A=\left(\begin{array}{rrrr} 4 & -1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 4 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 4 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 4 \end{array}\right) ; \quad b=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear Ax=b com
A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 & 0\\\\ -1 & 4 & -1 & 0\\\\ 0 & -1 & 4 & -1\\\\ 0 & 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}
Pede-se verificar o critério das linhas (dominância diagonal estrita) para garantir a convergência de Jacobi, aplicar duas iterações de Gauss–Jacobi com x^{(0)}=(0,0,0,0)^T e calcular o erro relativo. Vamos precisar de:
  1. Dominância diagonal para assegurar convergência.
  2. Fórmula de iteração de Jacobi:
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j\neq i}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr).

Passo 2

Verificamos para cada linha i se
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Linha 1: |4| > |-1| = 1.
Linha 2: |4| > |-1|+|-1| = 2.
Linha 3: |4| > 1+1 = 2.
Linha 4: |4| > 1.
Em todas as linhas a diagonal domina estritamente, logo o método de Jacobi converge.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas de iteração de Jacobi:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \tfrac{1 + x_2^{(k)}}{4},& x_2^{(k+1)} &= \tfrac{1 + x_1^{(k)} + x_3^{(k)}}{4},\\\ x_3^{(k+1)} &= \tfrac{1 + x_2^{(k)} + x_4^{(k)}}{4},& x_4^{(k+1)} &= \tfrac{1 + x_3^{(k)}}{4}. \end{aligned}
Com x^{(0)}=(0,0,0,0)^T obtemos
x^{(1)} = (0,25,\,0,25,\,0,25,\,0,25)^T
e em seguida
x^{(2)} = \bigl(0,3125,\,0,375,\,0,375,\,0,3125\bigr)^T.

Passo 4

Para calcular o erro relativo precisamos da solução exata. Resolvendo Ax=b por eliminação numérica ou reconhecendo a estrutura tridiagonal, chega-se a
x_{\mathrm{exato}} = \Bigl(\tfrac{4}{11},\,\tfrac{5}{11},\,\tfrac{5}{11},\,\tfrac{4}{11}\Bigr)^T \approx (0,3636,\,0,4545,\,0,4545,\,0,3636)^T.

Passo 5

O vetor de erro após 2 iterações é
e^{(2)} = x^{(2)} - x_{\mathrm{exato}} \approx (-0,0511,\,-0,0795,\,-0,0795,\,-0,0511)^T.
Na norma infinito
\|e^{(2)}\|_\infty = 0,0795,\quad \|x_{\mathrm{exato}}\|_\infty = 0,4545,
logo o erro relativo é
\mathrm{err}_{\mathrm{rel}} = \frac{\|e^{(2)}\|_\infty}{\|x_{\mathrm{exato}}\|_\infty} \approx 0,175.

Resposta

Após duas iterações de Gauss–Jacobi:
x^{(2)} = (0,3125,\;0,375,\;0,375,\;0,3125)^T,
e o erro relativo (norma infinito) é aproximadamente 0,175.

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