A seguinte tabela relaciona o calor específico da água com a temperatura:
Temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 20 25 30 35 40 45 50
Calor específico 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818 0.99828 0.99849 0.99878
Resolva os itens a seguir através de um processo de interpolação quadrática:
(a) O calor específico da água a 32.5^{\circ}.
(b) A temperatura para a qual o calor específico é 0.99837.

Passo 1

O enunciado fornece a tabela do calor específico c da água em função da temperatura T e pede:
(a) estimar c em T=32{,}5^\circ\mathrm{C} por interpolação quadrática;
(b) encontrar T tal que c=0{,}99837 usando também interpolação quadrática.
Vamos usar a forma de Lagrange para polinômio de grau 2.

Passo 2

Para (a) escolhemos os três pontos mais próximos de 32{,}5:
(T_0,c_0) = (30,0,99826),\quad (T_1,c_1) = (35,0,99818),\quad (T_2,c_2) = (40,0,99828).
O polinômio de Lagrange é
P(T)=c_0\,\frac{(T-T_1)(T-T_2)}{(T_0-T_1)(T_0-T_2)} +c_1\,\frac{(T-T_0)(T-T_2)}{(T_1-T_0)(T_1-T_2)} +c_2\,\frac{(T-T_0)(T-T_1)}{(T_2-T_0)(T_2-T_1)}.

Passo 3

Calculamos cada base em T=32{,}5:
L_0=\frac{(32{,}5-35)(32{,}5-40)}{(-5)(-10)}=0{,}375,\quad L_1=-\frac{(32{,}5-30)(32{,}5-40)}{5\cdot5}=0{,}75,\quad L_2=\frac{(32{,}5-30)(32{,}5-35)}{10\cdot5}=-0{,}125.
Logo
c(32{,}5)=0,99826\cdot0{,}375+0,99818\cdot0{,}75+0,99828\cdot(-0{,}125) \approx0{,}99820.

Passo 4

Para (b) o valor 0{,}99837 situa-se entre os c em T=25 e T=30, então escolhemos
(T_0,c_0)=(25,0,99852),\quad (T_1,c_1)=(30,0,99826),\quad (T_2,c_2)=(35,0,99818)
e montamos o mesmo esquema de Lagrange para P(T).

Passo 5

Convertendo P(T) à forma aT^2+bT+c e impondo P(T)=0{,}99837 obtemos a equação
aT^2+bT+(c-0{,}99837)=0 \quad\Longrightarrow\quad 3{,}6\times10^{-6}T^2-2,5\times10^{-4}T+4,15\times10^{-3}=0.
Pela fórmula de Bhaskara surgem duas raízes,
T_1\approx27{,}46^\circ\mathrm{C}, \quad T_2\approx42{,}01^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Como buscamos T entre 25 e 35, escolhemos
T\approx27{,}46^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) c(32{,}5^\circ\mathrm{C})\approx0{,}99820.
(b) T tal que c=0{,}99837 é aproximadamente 27{,}46^\circ\mathrm{C}.

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