Fator de Integração Geral Considere a equação diferencial:
\left(3 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0
(a) Verifique se a equação é exata.
(b) Caso não seja, encontre um fator integrante apropriado e resolva.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(3 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0
e pede duas coisas:
  1. Verificar se a equação é exata.
  2. Caso não seja exata, encontrar um fator integrante adequado e resolver a equação (obter a solução implícita).
Informações úteis que já temos explicitamente do enunciado:
M(x,y)=3xy+y^{2},\qquad N(x,y)=x^{2}+2xy.

Passo 2

O que significa “exata” (aula rápida e direta): uma equação da forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\psi_{x}=M\quad\text{e}\quad\psi_{y}=N.
Um teste prático (quando M,N têm derivadas parciais contínuas) é comparar as derivadas mistas:
\frac{\partial M}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}.
Se elas forem iguais em uma região, a equação é exata nessa região. Vou aplicar esse teste agora.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(3xy+y^{2}\right)=3x+2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}+2xy\right)=2x+2y.
Comparando,
\frac{\partial M}{\partial y}=3x+2y\neq 2x+2y=\frac{\partial N}{\partial x}
em geral. Portanto a equação NÃO é exata. (Resposta à parte (a): não é exata.)

Passo 4

Próximo passo: encontrar um fator integrante. Existem vários tipos; um método standard quando M e N são homogêneos do mesmo grau é procurar um fator integrante do tipo
\mu(x,y)=x^{a}y^{b}.
Aqui observo que M e N são polinomiais homogêneos de grau 2 (cada termo tem soma dos expoentes igual a 2). Procurar \mu=x^{a}y^{b} é razoável e frequentemente dá uma forma exata que conseguimos integrar à mão. Vou aplicar esse método.

Passo 5

Vou escrever a condição de exatidão após multiplicar por \mu. Se \tilde M=\mu M e \tilde N=\mu N, a condição é
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{\partial \tilde N}{\partial x}.
Calculo \tilde M e \tilde N simbolicamente:
\tilde M=x^{a}y^{b}(3xy+y^{2})=x^{a}y^{b+1}(3x+y),
\tilde N=x^{a}y^{b}(x^{2}+2xy)=x^{a+1}y^{b}(x+2y).
Agora eu derivo e imponho igualdade (vou organizar os coeficientes em x e y).
Derivando \tilde M em relação a y:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=x^{a}y^{b}\bigl(3(b+1)x+(b+2)y\bigr).
Derivando \tilde N em relação a x:
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=x^{a}y^{b}\bigl((a+2)x+2(a+1)y\bigr).
Como o fator x^{a}y^{b} não é zero em região conveniente, igualamos os coeficientes das potências x e y dentro dos parênteses:
sistema linear para a,b:
3(b+1)=a+2,\qquad b+2=2(a+1).

Passo 6

Resolvo o sistema:
Da primeira equação a=3(b+1)-2=3b+1.
Da segunda b+2=2a+2 implica b=2a.
Substituo a=3b+1 em b=2a:
b=2(3b+1)=6b+2\quad\Rightarrow\quad -5b=2\quad\Rightarrow\quad b=-\tfrac{2}{5}.
Então
a=3b+1=3\left(-\tfrac{2}{5}\right)+1=-\tfrac{6}{5}+1=-\tfrac{1}{5}.
Logo um fator integrante adequado é
\mu(x,y)=x^{a}y^{b}=x^{-1/5}y^{-2/5}.

Passo 7

Multiplico a equação original por \mu. Primeiro calculo \tilde M=\mu M e \tilde N=\mu N de forma expandida (para facilitar a integração posterior):
\tilde M=x^{-1/5}y^{-2/5}(3xy+y^{2})=3x^{4/5}y^{3/5}+x^{-1/5}y^{8/5},
\tilde N=x^{-1/5}y^{-2/5}(x^{2}+2xy)=x^{9/5}y^{-2/5}+2x^{4/5}y^{3/5}.
Verifico rapidamente a exatidão calculando as derivadas:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{9}{5}x^{4/5}y^{-2/5}+\frac{8}{5}x^{-1/5}y^{3/5},
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=\frac{9}{5}x^{4/5}y^{-2/5}+\frac{8}{5}x^{-1/5}y^{3/5}.
São iguais, logo a equação multiplicada por \mu é exata. Ótimo — fator integrante correto!

Passo 8

Agora encontro a função potencial \psi(x,y) tal que \psi_{x}=\tilde M e \psi_{y}=\tilde N.
Integro \tilde M em relação a x:
\tilde M=3x^{4/5}y^{3/5}+x^{-1/5}y^{8/5}.
Uso a regra básica \int x^{m}dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1}. Assim,
\int 3x^{4/5}y^{3/5}\,dx=3y^{3/5}\cdot\frac{x^{9/5}}{9/5}=\frac{5}{3}x^{9/5}y^{3/5},
\int x^{-1/5}y^{8/5}\,dx=y^{8/5}\cdot\frac{x^{4/5}}{4/5}=\frac{5}{4}x^{4/5}y^{8/5}.
Portanto
\psi(x,y)=\frac{5}{3}x^{9/5}y^{3/5}+\frac{5}{4}x^{4/5}y^{8/5}+h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 9

Determino h(y) impondo \psi_{y}=\tilde N. Calculo \psi_{y}:
\psi_{y}=x^{9/5}y^{-2/5}+2x^{4/5}y^{3/5}+h'(y).
Comparando com \tilde N=x^{9/5}y^{-2/5}+2x^{4/5}y^{3/5} obtemos h'(y)=0, logo h é constante. Assim a solução implícita (condensando a constante) é
\frac{5}{3}x^{9/5}y^{3/5}+\frac{5}{4}x^{4/5}y^{8/5}=C.

Passo 10

Posso simplificar multiplicando por \dfrac{12}{5} para evitar frações nas constantes:
4x^{9/5}y^{3/5}+3x^{4/5}y^{8/5}=C',
onde C' é constante arbitrária (absorve o fator \dfrac{12}{5} multiplicando C). Essa é a forma final mais limpa da solução implícita.

Resposta

(a) A equação não é exata.
(b) Um fator integrante é \mu(x,y)=x^{-1/5}y^{-2/5}. A solução geral implícita é
4x^{9/5}y^{3/5}+3x^{4/5}y^{8/5}=C',
com C' constante arbitrária.

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