Fator de Integração Geral Considere a equação diferencial:
(a) Verifique se a equação é exata.
(b) Caso não seja, encontre um fator integrante apropriado e resolva.
(b) Caso não seja, encontre um fator integrante apropriado e resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- Verificar se a equação é exata.
- Caso não seja exata, encontrar um fator integrante adequado e resolver a equação (obter a solução implícita).
Informações úteis que já temos explicitamente do enunciado:
Passo 2
O que significa “exata” (aula rápida e direta): uma equação da forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Um teste prático (quando
têm derivadas parciais contínuas) é comparar as derivadas mistas:
Se elas forem iguais em uma região, a equação é exata nessa região. Vou aplicar esse teste agora.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais:
Comparando,
em geral. Portanto a equação NÃO é exata. (Resposta à parte (a): não é exata.)
Passo 4
Próximo passo: encontrar um fator integrante. Existem vários tipos; um método standard quando
e
são homogêneos do mesmo grau é procurar um fator integrante do tipo
Aqui observo que
e
são polinomiais homogêneos de grau
(cada termo tem soma dos expoentes igual a
). Procurar
é razoável e frequentemente dá uma forma exata que conseguimos integrar à mão. Vou aplicar esse método.
Passo 5
Vou escrever a condição de exatidão após multiplicar por
. Se
e
, a condição é
Calculo
e
simbolicamente:
Agora eu derivo e imponho igualdade (vou organizar os coeficientes em
e
).
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Como o fator
não é zero em região conveniente, igualamos os coeficientes das potências
e
dentro dos parênteses:
sistema linear para :
sistema linear para
Passo 6
Resolvo o sistema:
Da primeira equação .
Da segunda implica
.
Substituo em
:
Da primeira equação
Da segunda
Substituo
Então
Logo um fator integrante adequado é
Passo 7
Multiplico a equação original por
. Primeiro calculo
e
de forma expandida (para facilitar a integração posterior):
Verifico rapidamente a exatidão calculando as derivadas:
São iguais, logo a equação multiplicada por
é exata. Ótimo — fator integrante correto!
Passo 8
Agora encontro a função potencial
tal que
e
.
Integro em relação a
:
Integro
Uso a regra básica
. Assim,
Portanto
onde
é função arbitrária de
.
Passo 9
Determino
impondo
. Calculo
:
Comparando com
obtemos
, logo
é constante. Assim a solução implícita (condensando a constante) é
Passo 10
Posso simplificar multiplicando por
para evitar frações nas constantes:
onde
é constante arbitrária (absorve o fator
multiplicando
). Essa é a forma final mais limpa da solução implícita.
Resposta
(a) A equação não é exata.
(b) Um fator integrante é . A solução geral implícita é
(b) Um fator integrante é
com
constante arbitrária.