Um equipamento para análise de espectros de ondas de rádio obteve a seguinte expressão para um determinado sinal
Y=u^{3} \operatorname{sen}(u)+\cos (u)+3
Use algum método estudado para determinar o valor de u que anula Y, partindo de u_{0}=3.

Passo 1

O enunciado pede o valor de u que zera a função
Y(u)=u^{3}\sin(u)+\cos(u)+3.
Isso é um problema de encontro de raiz de função não-linear. Uma das técnicas mais usadas é o método de Newton–Raphson, que converge rápido desde que a derivada não seja nula perto da raiz.

Passo 2

Definimos
f(u)=u^{3}\sin(u)+\cos(u)+3
e calculamos a derivada
f'(u)=\frac{d}{du}\bigl(u^{3}\sin(u)\bigr)+\frac{d}{du}\cos(u) =3u^{2}\sin(u)+u^{3}\cos(u)-\sin(u).
A iteração de Newton é
u_{n+1}=u_{n}-\frac{f(u_{n})}{f'(u_{n})}.

Passo 3

Começando em u_{0}=3, calculamos duas iterações seguidas:
Para u_{0}=3: \sin(3)\approx0{,}14112, \cos(3)\approx-0{,}98999,
f(3)=27\cdot0{,}14112-0{,}98999+3\approx5{,}82025,
f'(3)=3\cdot9\cdot0{,}14112+27\cdot(-0{,}98999)-0{,}14112\approx-23{,}0606,
u_{1}=3-\frac{5{,}82025}{-23{,}0606}\approx3{,}25245.
Para u_{1}\approx3{,}25245: \sin(3{,}25245)\approx-0{,}11067, \cos(3{,}25245)\approx-0{,}99386,
f(3{,}25245)\approx-1{,}80486,\quad f'(3{,}25245)\approx-37{,}5369,
u_{2}=3{,}25245-\frac{-1{,}80486}{-37{,}5369}\approx3{,}20436.

Passo 4

Fazemos mais iterações até \lvert u_{n+1}-u_{n}\rvert ficar abaixo de um critério, digamos 10^{-4}:
Para u_{2}\approx3{,}20436: \sin(3{,}20436)\approx-0{,}06273, \cos(3{,}20436)\approx-0{,}99803,
f(3{,}20436)\approx-0{,}0618,\quad f'(3{,}20436)\approx-34{,}7167,
u_{3}=3{,}20436-\frac{-0{,}0618}{-34{,}7167}\approx3{,}20258, \lvert u_{3}-u_{2}\rvert\approx1{,}78\times10^{-3}>10^{-4}, ainda não basta.
Para u_{3}\approx3{,}20258: \sin(3{,}20258)\approx-0{,}06096, \cos(3{,}20258)\approx-0{,}99814,
f(3{,}20258)\approx-0{,}0017,\quad f'(3{,}20258)\approx-34{,}6203,
u_{4}=3{,}20258-\frac{-0{,}0017}{-34{,}6203}\approx3{,}20253, \lvert u_{4}-u_{3}\rvert\approx5\times10^{-5}<10^{-4}. Convergiu.

Resposta

O valor de u que anula Y é aproximadamente
u\approx3{,}20253.

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