Mostre que o método de Newton-Raphson é um método de ponto fixo \operatorname{com} g^{\prime}\left(x^{*}\right)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a iteração de Newton–Raphson
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}
pode ser vista como um método de ponto fixo x_{k+1}=g(x_k) tal que no ponto fixo x^* temos g'(x^*)=0. Vamos usar a definição de ponto fixo e derivar g.

Passo 2

Definimos a função de iteração
g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}.
Se x^* é raiz de f, isto é, f(x^*)=0, então
g(x^*) = x^* - \frac{f(x^*)}{f'(x^*)} = x^* - 0 = x^*,
mostrando que x^* é ponto fixo de g.

Passo 3

Para verificar a derivada de g calculemos g'(x). Usando regra do quociente em
g(x)=x - \frac{f(x)}{f'(x)},
temos
\frac{d}{dx}\Bigl(\!-\frac{f(x)}{f'(x)}\Bigr) =-\frac{f'(x)\,f'(x)-f(x)\,f''(x)}{\bigl(f'(x)\bigr)^2} =-1+\frac{f(x)\,f''(x)}{\bigl(f'(x)\bigr)^2}.
Como a derivada de x é 1, segue
g'(x) =1 + \Bigl(-1+\frac{f(x)\,f''(x)}{\bigl(f'(x)\bigr)^2}\Bigr) =\frac{f(x)\,f''(x)}{\bigl(f'(x)\bigr)^2}.

Passo 4

Finalmente, avaliando em x=x^* onde f(x^*)=0, obtemos
g'(x^*) = \frac{f(x^*)\,f''(x^*)}{\bigl(f'(x^*)\bigr)^2} = \frac{0\cdot f''(x^*)}{\bigl(f'(x^*)\bigr)^2} =0.

Resposta

Definindo g(x)=x-f(x)/f'(x), obtemos g(x^*)=x^* e g'(x^*)=0, ou seja, o método de Newton–Raphson é um método de ponto fixo com g'(x^*)=0.

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