Escolha n (número de subintervalos para dividir o intervalo de integração) o menor valor possível para aplicar a regra de Simpson Repetida de modo a obter uma aproximação de -1,48+1
I=\int_{-1,48} e^{x^{2}} d x com erro inferior a 0,01 . Coloque o valor aproximado I no campo abaixo.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
I=\int_{-1{,}48}^{1}e^{x^{2}}\,dx
pelas regras de Simpson composta, escolhendo o menor n (par) tal que o erro satisfaça
\bigl|E_{S}\bigr|\;<\;0{,}01.
Para isso precisamos do termo de cota de erro de Simpson repetida e de uma estimativa de \max_{x\in[-1{,}48,1]}|f^{(4)}(x)|, onde f(x)=e^{x^{2}}.

Passo 2

Calcular a quarta derivada de f(x)=e^{x^{2}}.
As primeiras derivadas são
f'(x)=2x\,e^{x^{2}},\quad f''(x)=(2+4x^{2})\,e^{x^{2}},\quad f'''(x)=(12x+8x^{3})\,e^{x^{2}},
e a quarta derivada fica
f^{(4)}(x) =\bigl(12+48x^{2}+16x^{4}\bigr)\,e^{x^{2}}.
Em [-1{,}48,1] o máximo de \bigl|f^{(4)}(x)\bigr| ocorre em x=-1{,}48, logo
K=\max|f^{(4)}(x)|\approx e^{(1{,}48)^{2}}\bigl(16(1{,}48)^{4}+48(1{,}48)^{2}+12\bigr)\approx1{,}733\times10^{3}.

Passo 3

A cota de erro da regra de Simpson composta com n subintervalos é
\bigl|E_{S}\bigr|\le\frac{K\,(b-a)^{5}}{180\,n^{4}},
com a=-1{,}48, b=1 e b-a=2{,}48. Calcula-se
(b-a)^{5}\approx93{,}81,
portanto
\bigl|E_{S}\bigr|\le\frac{1{,}733\times10^{3}\times93{,}81}{180\,n^{4}} \approx\frac{903}{n^{4}}.
Queremos \frac{903}{n^{4}}<0{,}01, isto é n^{4}>9{,}03\times10^{4}, de onde n>17{,}3. O menor n par é
n=18.

Passo 4

Com n=18 o passo é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2{,}48}{18}\approx0{,}1377778.
Aplicamos a fórmula composta
I\approx\frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0})+4\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_{i}) +2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,n}f(x_{i})+f(x_{n})\Bigr].í
Calculando x_{i}= -1{,}48+i\,h e f(x_{i})=e^{x_{i}^{2}} para i=0,\dots,18, obtemos numericamente
f(x_{0})\approx8{,}936,\;f(x_{18})\approx2{,}7183,
\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_{i})\approx19{,}0354,í
\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,18}f(x_{i})\approx14{,}2798.

Passo 5

Substituindo na fórmula:
S = f(x_{0})+f(x_{18}) +4\cdot19{,}0354 +2\cdot14{,}2798 \approx116{,}3553,
I\approx\frac{0{,}1377778}{3}\times116{,}3553\approx5{,}345.

Resposta

5{,}345

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