Seja I_{T} a aproximação de \int_{\alpha}^{b} f(x) d x dada pela regra dos trapézios. Assinale a única alternativa falsa dentre as opções abaixo.
Escolha uma opção:
a. Se f(x) é um polinômio de primeiro grau então o erro cometido nesta aproximação é zero.
b. \quad I_{T}=\frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{1}\right)\right]
c. I_{T}=\frac{h}{2}\left[f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{1}\right)\right]
d. O erro cometido nesta aproximação será positivo se a segunda derivada de f(x) for negativa para todo x em [a, b].
e. Se f(x)>0 em [a, b], então I_{T} representa a área de um trapézio.

Passo 1

Resumindo, queremos identificar a única afirmação falsa sobre a regra do trapézio, que aproxima
\int_{a}^{b}f(x)\,dx
usando apenas os pontos x_{0}=a e x_{1}=b.

Passo 2

A fórmula exata da regra do trapézio em um único subintervalo de largura h=x_{1}-x_{0} é
I_{T}=\frac{h}{2}\bigl[f(x_{0})+f(x_{1})\bigr].
Portanto a alternativa (c) está correta e coincide com essa expressão.

Passo 3

A alternativa (b) afirma
I_{T}=\frac{h}{3}\bigl[f(x_{0})+f(x_{1})\bigr],
mas o fator correto é \tfrac{h}{2}, não \tfrac{h}{3}. A expressão com \tfrac{h}{3} corresponde à regra de Simpson, não ao trapézio. Logo (b) é falsa.

Passo 4

Se f(x) é um polinômio de primeiro grau, então f''(x)=0 e o trapézio é exato, isto é, o erro é zero. Assim (a) está certa.

Passo 5

O termo de erro local da regra do trapézio em [a,b] é
E=-\frac{(b-a)^{3}}{12}\,f''(\xi) \quad\text{para algum }\xi\in[a,b].
Se f''(x)<0 em todo o intervalo, então -f''(\xi)>0 e E>0, confirmando que (d) está certa.

Passo 6

Se f(x)>0 em [a,b], a área geométrica abaixo do segmento que liga (a,f(a)) a (b,f(b)) é exatamente a área de um trapézio de bases f(a) e f(b) e altura b-a. Logo (e) também está certa.

Resposta

b. I_{T}=\frac{h}{3}\bigl[f(x_{0})+f(x_{1})\bigr] é a alternativa falsa.

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