Seja
a aproximação de
dada pela regra dos trapézios. Assinale a única alternativa falsa dentre as opções abaixo.
Escolha uma opção:
a. Se
é um polinômio de primeiro grau então o erro cometido nesta aproximação é zero.
b.
c.
d. O erro cometido nesta aproximação será positivo se a segunda derivada de
for negativa para todo
em
.
e. Se
em
, então
representa a área de um trapézio.
a. Se
b.
c.
d. O erro cometido nesta aproximação será positivo se a segunda derivada de
e. Se
Passo 1
Resumindo, queremos identificar a única afirmação falsa sobre a regra do trapézio, que aproxima
usando apenas os pontos
e
.
Passo 2
A fórmula exata da regra do trapézio em um único subintervalo de largura
é
Portanto a alternativa (c) está correta e coincide com essa expressão.
Passo 3
A alternativa (b) afirma
mas o fator correto é
, não
. A expressão com
corresponde à regra de Simpson, não ao trapézio. Logo (b) é falsa.
Passo 4
Se
é um polinômio de primeiro grau, então
e o trapézio é exato, isto é, o erro é zero. Assim (a) está certa.
Passo 5
O termo de erro local da regra do trapézio em
é
Se
em todo o intervalo, então
e
, confirmando que (d) está certa.
Passo 6
Se
em
, a área geométrica abaixo do segmento que liga
a
é exatamente a área de um trapézio de bases
e
e altura
. Logo (e) também está certa.
Resposta
b.
é a alternativa falsa.