Use o método de Euler com h=0,21 para determinar um valor aproximado para y(6,9+3 \times 0,21), onde y(x) é a solução do PVI abaixo.
\left\{\begin{array}{c} e^{4 x} y^{\prime}+(-0) x+(4) y=0 \\\ y(6,9)=3,1 \end{array}\right.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \,y(6,9+3\times0,21) onde y(x) satisfaz o PVI
e^{4x}y' +(-0)\,x + (4)\,y = 0, \quad y(6,9)=3,1,
usando o método de Euler com passo h=0,21. Vamos primeiro isolar y' e depois aplicar a fórmula \,y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n).

Passo 2

Isolando y' na equação dada:
e^{4x}y' +4y=0 \quad\Longrightarrow\quad y'=-4e^{-4x}y.
Logo f(x,y)=-4e^{-4x}y.

Passo 3

Na fórmula de Euler temos
x_{n+1}=x_n+h, \quad y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n),
com x_0=6,9, y_0=3,1, h=0,21.

Passo 4

Calculamos iterativamente para n=0,1,2:
Para n=0:
x_0=6,9,\quad f(x_0,y_0)=-4e^{-4\cdot6,9}\cdot3,1\approx-1,28\times10^{-11},
y_1=y_0+0,21\cdot(-1,28\times10^{-11}) \approx3,1-2,69\times10^{-12}\approx3,1.
Para n=1:
x_1=6,9+0,21=7,11,\quad f(x_1,y_1)\approx-4e^{-4\cdot7,11}\cdot3,1\approx-6,05\times10^{-12},
y_2\approx3,1-1,27\times10^{-12}\approx3,1.
Para n=2:
x_2=7,11+0,21=7,32,\quad f(x_2,y_2)\approx-4e^{-4\cdot7,32}\cdot3,1\approx-2,36\times10^{-12},
y_3=y_2+0,21\cdot(-2,36\times10^{-12}) \approx3,1-4,95\times10^{-13}\approx3,1.

Resposta

y(6,9+3\times0,21)\approx3,1

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