(… pontos) Assinale (V) para verdadeiro e (F) para falso:
(a) ( ) O número real 69 é representado por (1000101)_{2} na base 2.
(b) (\quad)(11001)_{2}=(221)_{3}
(c) ( ) A representação do número 0,45 na base binária é uma dízima periódica
(d) (\quad)(0,1111)_{2}=(0,9375)_{10}
(e) ( ) A representação do número 450 na máquina F(10 ; 5 ;-4 ; 4) é 0,45000 \cdot 10^{-3}
(f) ( ) Acontece um underflow ao tentar representar o número 0,0000123 na máquina F(10 ; 4 ;-3 ; 3)
(g) ( ) Existem 19801 números exatamente representados em F(10 ; 3 ;-5 ; 5)
(h) ( ) O menor número, em valor absoluto, representado na máquina F(10 ; 4 ;-5 ; 5) é 0,0001 \cdot 10^{-5}.
(i) ( ) Na máquina F(10,3,-5,5), o número 50435 possui o mesmo valor tanto no truncamento quanto no arredondamento.
(j) ( ) Em F(10,3,-5,5), x=0,137659 \cdot 10^{4} tem erro relativo menor que y=1,127659 \cdot 10^{4}
(k) ( ) O erro absoluto máximo ao representar x=0, d_{1} d_{2} d_{3} \ldots 10^{2} em F(10 ; 4 ;-9 ;-9) em uma máquina usando arredondamento é 0,0005
(l) ( ) Ao somar 10203 e 123,76 numa máquina de ponto flutuante F(10,3,-6,6) usando arredondamento resulta em 0,103 \cdot 10^{4}.
(m) ( ) Ao multiplicar 10203,23 e 12,76 numa máquina de ponto flutuante F(10,3,-6,6) usando arredondamento ocorre um overflow.
(n) ( ) A função f(x)=x^{5}-x e^{-x}-1 tem raízes (zeros) em [-2 ;-1] e [-1 ; 0]
(o) ( ) Quantidade mínima de iterações no método da bisseção para aproximar a raiz de f(x)=x^{5}-x e^{-x}-1 em [0 ; 2] com precisão \epsilon=0,05 são 6 iterações.

Passo 1

O enunciado apresenta quinze afirmações (de (a) a (o)) envolvendo conversão para base binária, representação em ponto flutuante em máquinas F(10;t;L;U), cálculo de erros absoluto e relativo, existência de raízes por Teorema de Bolzano e número de iterações no método da bisseção. Para resolver precisamos: converter números para base 2, aplicar definição de números normalizados em ponto flutuante (mantissa com t dígitos e expoente em [L,U]), usar fórmulas de erro de arredondamento e truncamento, verificar mudança de sinal para zeros de função contínua e calcular n\ge\lceil\log_{2}((b-a)/\varepsilon)\rceil.

Passo 2

Para (a) e (b) convertemos para decimal e comparamos; para (c) e (d) somamos termos de frações binárias.
(a) 69_{10}\to(1000101)_2 pois 69=1\cdot2^6+1\cdot2^3+1\cdot2^0. Verdadeiro.
(b) (11001)_2=1\cdot16+1\cdot8+1=25 e (221)_3=2\cdot9+2\cdot3+1=25. Verdadeiro.
(c) 0,45_{10}=9/20; em base 2 gera dízima periódica. Verdadeiro.
(d) 0,1111_2=1/2+1/4+1/8+1/16=0,9375_{10}. Verdadeiro.

Passo 3

Para (e) e (f) usamos normalização d.dddd\times10^e com e\in[L,U]; para (g) e (h) contamos números normalizados.
(e) Em F(10;5;-4;4) o número 450=4,5000\times10^2, não 0,45000\times10^{-3}. Falso.
(f) Em F(10;4;-3;3) o menor expoente permitido é -3, mas 0,0000123=1,23\times10^{-5} exige e=-5<-3, causa underflow. Verdadeiro.
(g) Em F(10;3;-5;5)
2\,(10-1)\,10^{3-1}\,(5-(-5)+1)+1 =2\cdot9\cdot10^2\cdot11+1=19801
números. Verdadeiro.
(h) Em F(10;4;-5;5) o menor valor normalizado é 1,0000\times10^{-5}, não 0,0001\times10^{-5}. Falso.

Passo 4

Para (i) avaliamos truncamento e arredondamento de mantissa com t=3; (j) comparamos erros relativos; (k) recordamos que erro absoluto máximo em arredondamento é \tfrac12 ulp; (l) somamos números com alinhamento de expoentes e arredondamos.
(i) 50435=5,0435\times10^4. Mantendo 3 dígitos: truncamento e arredondamento produzem 5,04\times10^4. Verdadeiro.
(j) x=1,37659\times10^3 arredondado a 1,38\times10^3 tem erro relativo \approx0,00248; y=1,127659\times10^4 arredondado a 1,13\times10^4 tem erro relativo \approx0,00208. Logo x tem erro maior que y. A afirmação diz o contrário. Falso.
(k) Para x=0.d_1d_2d_3\ldots\times10^2 em F(10;4;L;U) o ulp é 10^{2-4}=10^{-2}, e o erro máximo de arredondamento é \tfrac12\times10^{-2}=0,005, não 0,0005. Falso.
(l) \,10203=1,0203\times10^4, 123,76=0,012376\times10^4,
soma =1,032676\times10^4. Arredondando a 3 dígitos obtém-se 1,03\times10^4, não 0,103\times10^4. Falso.

Passo 5

(m) verificamos produto em ponto flutuante; (n) avaliamos contínua e mudança de sinal; (o) aplicamos fórmula de iterações na bisseção.
(m) 10203,23=1,020323\times10^4, 12,76=1,276\times10^1. Produto =1,301323548\times10^5, que está no intervalo de expoentes [-6,6]. Logo não há overflow. Falso.
(n) Definindo f(x)=x^5-xe^{-x}-1,
f(-2)=-32+2e^2-1<0,\quad f(-1)=-1+e-1>0,\quad f(0)=-1<0.
Mudança de sinal em [-2,-1] e em [-1,0] garante dois zeros. Verdadeiro.
(o) Para bisseção em [0,2] com \varepsilon=0,05 é preciso
n\ge\left\lceil\log_2\frac{2}{0,05}\right\rceil =\lceil\log_2(40)\rceil=6.
Logo no mínimo 6 iterações. Verdadeiro.

Resposta

(a) V
(b) V
(c) V
(d) V
(e) F
(f) V
(g) V
(h) F
(i) V
(j) F
(k) F
(l) F
(m) F
(n) V
(o) V

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