(… pontos) Assinale (V) para verdadeiro e (F) para falso:
(a) ( ) O número real 69 é representado por
na base 2.
(b)
(c) ( ) A representação do número 0,45 na base binária é uma dízima periódica
(d)
(e) ( ) A representação do número 450 na máquina
é
(f) ( ) Acontece um underflow ao tentar representar o número 0,0000123 na máquina
(g) ( ) Existem 19801 números exatamente representados em
(h) ( ) O menor número, em valor absoluto, representado na máquina
é
.
(i) ( ) Na máquina
, o número 50435 possui o mesmo valor tanto no truncamento quanto no arredondamento.
(j) ( ) Em
tem erro relativo menor que
(k) ( ) O erro absoluto máximo ao representar
em
em uma máquina usando arredondamento é 0,0005
(l) ( ) Ao somar 10203 e 123,76 numa máquina de ponto flutuante
usando arredondamento resulta em
.
(m) ( ) Ao multiplicar 10203,23 e 12,76 numa máquina de ponto flutuante
usando arredondamento ocorre um overflow.
(n) ( ) A função
tem raízes (zeros) em
e
(o) ( ) Quantidade mínima de iterações no método da bisseção para aproximar a raiz de
em
com precisão
são 6 iterações.
(a) ( ) O número real 69 é representado por
(b)
(c) ( ) A representação do número 0,45 na base binária é uma dízima periódica
(d)
(e) ( ) A representação do número 450 na máquina
(f) ( ) Acontece um underflow ao tentar representar o número 0,0000123 na máquina
(g) ( ) Existem 19801 números exatamente representados em
(h) ( ) O menor número, em valor absoluto, representado na máquina
(i) ( ) Na máquina
(j) ( ) Em
(k) ( ) O erro absoluto máximo ao representar
(l) ( ) Ao somar 10203 e 123,76 numa máquina de ponto flutuante
(m) ( ) Ao multiplicar 10203,23 e 12,76 numa máquina de ponto flutuante
(n) ( ) A função
(o) ( ) Quantidade mínima de iterações no método da bisseção para aproximar a raiz de
Passo 1
O enunciado apresenta quinze afirmações (de (a) a (o)) envolvendo conversão para base binária, representação em ponto flutuante em máquinas
, cálculo de erros absoluto e relativo, existência de raízes por Teorema de Bolzano e número de iterações no método da bisseção. Para resolver precisamos: converter números para base 2, aplicar definição de números normalizados em ponto flutuante (mantissa com
dígitos e expoente em
), usar fórmulas de erro de arredondamento e truncamento, verificar mudança de sinal para zeros de função contínua e calcular
.
Passo 2
Para (a) e (b) convertemos para decimal e comparamos; para (c) e (d) somamos termos de frações binárias.
(a) pois
. Verdadeiro.
(b) e
. Verdadeiro.
(c) ; em base 2 gera dízima periódica. Verdadeiro.
(d) . Verdadeiro.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 3
Para (e) e (f) usamos normalização
com
; para (g) e (h) contamos números normalizados.
(e) Em o número
, não
. Falso.
(f) Em o menor expoente permitido é
, mas
exige
, causa underflow. Verdadeiro.
(g) Em há
(e) Em
(f) Em
(g) Em
números. Verdadeiro.
(h) Em o menor valor normalizado é
, não
. Falso.
(h) Em
Passo 4
Para (i) avaliamos truncamento e arredondamento de mantissa com
; (j) comparamos erros relativos; (k) recordamos que erro absoluto máximo em arredondamento é
ulp; (l) somamos números com alinhamento de expoentes e arredondamos.
(i) . Mantendo 3 dígitos: truncamento e arredondamento produzem
. Verdadeiro.
(j) arredondado a
tem erro relativo
;
arredondado a
tem erro relativo
. Logo
tem erro maior que
. A afirmação diz o contrário. Falso.
(k) Para em
o ulp é
, e o erro máximo de arredondamento é
, não
. Falso.
(l) ,
,
soma . Arredondando a 3 dígitos obtém-se
, não
. Falso.
(i)
(j)
(k) Para
(l)
soma
Passo 5
(m) verificamos produto em ponto flutuante; (n) avaliamos contínua e mudança de sinal; (o) aplicamos fórmula de iterações na bisseção.
(m) ,
. Produto
, que está no intervalo de expoentes
. Logo não há overflow. Falso.
(n) Definindo ,
(m)
(n) Definindo
Mudança de sinal em
e em
garante dois zeros. Verdadeiro.
(o) Para bisseção em com
é preciso
(o) Para bisseção em
Logo no mínimo 6 iterações. Verdadeiro.
Resposta
(a) V
(b) V
(c) V
(d) V
(e) F
(f) V
(g) V
(h) F
(i) V
(j) F
(k) F
(l) F
(m) F
(n) V
(o) V
(b) V
(c) V
(d) V
(e) F
(f) V
(g) V
(h) F
(i) V
(j) F
(k) F
(l) F
(m) F
(n) V
(o) V