(… pontos) Utilize o método da bisseção para determinar o zero da função f(x)=-\frac{1}{x^{2}}-x+6 no intervalo [5,8], \operatorname{com} \varepsilon=0,05. (Obs.: utilizar 4 casas decimais).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, pelo método da bisseção, a raiz de
f(x) = -\frac{1}{x^{2}} - x + 6
no intervalo [5,8], usando tolerância \varepsilon = 0{,}05 e guardando quatro casas decimais em cada ponto médio. A cada iteração calculamos
  1. o ponto médio c = \tfrac{a+b}{2},
  2. o valor f\text{(c)},
  3. o novo subintervalo em que ocorre troca de sinal, até que b - a < \varepsilon.

Passo 2

Começamos avaliando as extremidades:
f(5) = -\frac{1}{5^{2}} - 5 + 6 = -0{,}04 -5 +6 = 0{,}96 > 0,
f(8) = -\frac{1}{8^{2}} - 8 + 6 = -0{,}015625 -2 = -2{,}015625 < 0.
Como f(5)\cdot f(8)<0, há raiz em [5,8].

Passo 3

Iterações 1 e 2:
  • Iteração 1: a_1=5{,}0000, b_1=8{,}0000
c_1 = \frac{5{,}0000 + 8{,}0000}{2} = 6{,}5000,\quad f(6{,}5000) \approx -0{,}5237 < 0
Troca-se b\leftarrow c_1, ficando [5{,}0000,6{,}5000].
  • Iteração 2: a_2=5{,}0000, b_2=6{,}5000
c_2 = \frac{5{,}0000 + 6{,}5000}{2} = 5{,}7500,\quad f(5{,}7500) \approx 0{,}2198 > 0
Troca-se a\leftarrow c_2, ficando [5{,}7500,6{,}5000].

Passo 4

Iterações 3 e 4:
  • Iteração 3: a_3=5{,}7500, b_3=6{,}5000
c_3 = 6{,}1250,\quad f(6{,}1250) \approx -0{,}1517 < 0
Novo intervalo [5{,}7500,6{,}1250].
  • Iteração 4: a_4=5{,}7500, b_4=6{,}1250
c_4 = 5{,}9375,\quad f(5{,}9375) \approx 0{,}0342 > 0
Novo intervalo [5{,}9375,6{,}1250].

Passo 5

Iterações 5 e 6 e critério de parada:
  • Iteração 5: a_5=5{,}9375, b_5=6{,}1250
c_5 = 6{,}0313,\quad f(6{,}0313) \approx -0{,}0587 < 0
Novo intervalo [5{,}9375,6{,}0313].
  • Iteração 6: a_6=5{,}9375, b_6=6{,}0313
c_6 = 5{,}9844,\quad f(5{,}9844) \approx -0{,}0123 < 0
Novo intervalo [5{,}9375,5{,}9844].
Agora b_6 - a_6 = 5{,}9844 - 5{,}9375 = 0{,}0469 < \varepsilon, então paramos e tomamos a raiz aproximada como
x^* = \frac{a_6 + b_6}{2} = \frac{5{,}9375 + 5{,}9844}{2} = 5{,}9609.

Resposta

A aproximação da raiz é x \approx 5{,}9609.

Exercícios relacionados