Escolha V se a afirmação for verdadeira ou F se for falsa.
  • Se f^{\prime \prime}(x) é contínua em [a, b] e f^{\prime \prime}(x)<0, \forall x \in[a, b] então, a aproximação obtida para \int_{a}^{b} f(x) d x pela regra dos Trapézios é maior do que o valor exato de \int_{a}^{b} f(x) d x.
  • Dada uma função f contínua em um intervalo [a, b]. Se E_{T}=\int_{a}^{b} f(x) d x-I_{T} (sendo I_{T} a aproximação de \int_{a}^{b} f(x) d x dada pela regra dos Trapézios) e E_{S}=\int_{a}^{b} f(x) d x-I_{S} (sendo I_{S} a aproximação de \int_{a}^{b} f(x) d x dada pela regra de Simpson). Então, certamente, \left|E_{S}\right|<\left|E_{T}\right|.
  • Na regra 1 / 3 de Simpson Repetida, a integral de f(x) no intervalo [a, b] é aproximada pela integral de uma função Spline quadrática que interpola f(x) em [a, b].
  • Para qualquer função contínua f(x) é possível escolher o valor de n (número de subintervalos da partição do intervalo de integração) na regra dos Trapézios Repetida de modo que o valor de I_{T R} seja tão próximo de \int_{a}^{b} f(x) d x quando quisermos.
  • Se f(x) é um polinômio de grau 2 , então o erro cometido ao aproximarmos \int_{a}^{b} f(x) d x pela regra dos Trapézios é igual a zero.
  • Se f(x) é um polinômio de grau menor ou igual a 3, então o erro cometido ao aproximarmos \int_{a}^{b} f(x) d x pela regra dos Simpson é igual a zero.

Passo 1

O enunciado apresenta seis afirmações sobre as regras dos Trapézios e de Simpson — seus erros, condições de convexidade/concavidade, grau de exatidão e convergência. Vamos analisar cada afirmação usando:
  • o sinal de f''(x) para julgar se a Regra do Trapézios superestima ou subestima;
  • as ordens de erro: Trapézios é O(h^2) e Simpson é O(h^4);
  • os graus de polinômios exatos: Trapézios exato até grau 1, Simpson até grau 3;
  • a convergência de quadraturas compostas para funções contínuas;
  • a interpretação da Regra 1/3 de Simpson como interpolação por polinômios quadráticos em cada par de subintervalos.

Passo 2

Afirmação 1: “Se f''(x) é contínua em [a,b] e f''(x)<0, então a regra dos Trapézios produz valor maior que o exato.”
Para f''(x)<0 a função é côncava para baixo e a corda entre (a,f(a)) e (b,f(b)) fica abaixo da curva, de modo que
I_{T}<\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação 2: “Para f contínua em [a,b], sempre \lvert E_S\rvert<\lvert E_T\rvert.”
Sem hipóteses sobre derivadas de ordem superior, não há garantia de que Simpson (que requer f^{(4)} limitada) sempre supere Trapézios. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação 3: “Na Regra 1/3 de Simpson Repetida, aproxima-se \int_a^b f(x)\,dx pela integral de uma spline quadrática que interpola f.”
De fato, a Regra 1/3 composta constrói, em cada par de subintervalos, um polinômio de grau 2 que interpola os pontos (x_{i},f(x_{i})), (x_{i+1},f(x_{i+1})), (x_{i+2},f(x_{i+2})). Isso forma uma spline quadrática. A afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 4: “Para qualquer f contínua existe n tal que o Trapézios Composto I_{TR} fique arbitrariamente próximo de \int_a^b f.”
Como f contínua em [a,b] é Riemann integrável, toda sequência de quadraturas compostas cuja malha tende a zero converge para o valor exato. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Afirmação 5: “Se f é polinômio de grau 2, o erro do Trapézios é zero.”
A Regra do Trapézios é exata apenas para polinômios de grau até 1. Para quadráticos o erro em geral não é zero. A afirmação é falsa.

Passo 7

Afirmação 6: “Se f é polinômio de grau \le3, o erro de Simpson é zero.”
A Regra de Simpson 1/3 (simples ou composta) é exata para polinômios de grau até 3. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

  1. F
  2. F
  3. V
  4. V
  5. F
  6. V

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