Escolha V se a afirmação for verdadeira ou F se for falsa.
- Se
é contínua em
e
então, a aproximação obtida para
pela regra dos Trapézios é maior do que o valor exato de
.
- Dada uma função
contínua em um intervalo
. Se
(sendo
a aproximação de
dada pela regra dos Trapézios) e
(sendo
a aproximação de
dada pela regra de Simpson). Então, certamente,
.
- Na regra
de Simpson Repetida, a integral de
no intervalo
é aproximada pela integral de uma função Spline quadrática que interpola
em
.
- Para qualquer função contínua
é possível escolher o valor de
(número de subintervalos da partição do intervalo de integração) na regra dos Trapézios Repetida de modo que o valor de
seja tão próximo de
quando quisermos.
- Se
é um polinômio de grau 2 , então o erro cometido ao aproximarmos
pela regra dos Trapézios é igual a zero.
- Se
é um polinômio de grau menor ou igual a 3, então o erro cometido ao aproximarmos
pela regra dos Simpson é igual a zero.
Passo 1
O enunciado apresenta seis afirmações sobre as regras dos Trapézios e de Simpson — seus erros, condições de convexidade/concavidade, grau de exatidão e convergência. Vamos analisar cada afirmação usando:
- o sinal de
para julgar se a Regra do Trapézios superestima ou subestima; - as ordens de erro: Trapézios é
e Simpson é ; - os graus de polinômios exatos: Trapézios exato até grau 1, Simpson até grau 3;
- a convergência de quadraturas compostas para funções contínuas;
- a interpretação da Regra 1/3 de Simpson como interpolação por polinômios quadráticos em cada par de subintervalos.
Passo 2
Afirmação 1: “Se
é contínua em
e
, então a regra dos Trapézios produz valor maior que o exato.”
Para a função é côncava para baixo e a corda entre
e
fica abaixo da curva, de modo que
Para
Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmação 2: “Para
contínua em
, sempre
.”
Sem hipóteses sobre derivadas de ordem superior, não há garantia de que Simpson (que requer limitada) sempre supere Trapézios. Portanto, a afirmação é falsa.
Sem hipóteses sobre derivadas de ordem superior, não há garantia de que Simpson (que requer
Passo 4
Afirmação 3: “Na Regra 1/3 de Simpson Repetida, aproxima-se
pela integral de uma spline quadrática que interpola
.”
De fato, a Regra 1/3 composta constrói, em cada par de subintervalos, um polinômio de grau 2 que interpola os pontos ,
,
. Isso forma uma spline quadrática. A afirmação é verdadeira.
De fato, a Regra 1/3 composta constrói, em cada par de subintervalos, um polinômio de grau 2 que interpola os pontos
Passo 5
Afirmação 4: “Para qualquer
contínua existe
tal que o Trapézios Composto
fique arbitrariamente próximo de
.”
Como contínua em
é Riemann integrável, toda sequência de quadraturas compostas cuja malha tende a zero converge para o valor exato. Logo, a afirmação é verdadeira.
Como
Passo 6
Afirmação 5: “Se
é polinômio de grau 2, o erro do Trapézios é zero.”
A Regra do Trapézios é exata apenas para polinômios de grau até 1. Para quadráticos o erro em geral não é zero. A afirmação é falsa.
A Regra do Trapézios é exata apenas para polinômios de grau até 1. Para quadráticos o erro em geral não é zero. A afirmação é falsa.
Passo 7
Afirmação 6: “Se
é polinômio de grau
, o erro de Simpson é zero.”
A Regra de Simpson 1/3 (simples ou composta) é exata para polinômios de grau até 3. Portanto, a afirmação é verdadeira.
A Regra de Simpson 1/3 (simples ou composta) é exata para polinômios de grau até 3. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
- F
- F
- V
- V
- F
- V