Use a Regra dos Trapézios Repetida, com o menor n (número de subintervalos) possível, para calcular uma aproximação da integral \int_{-1,34}^{-1,34+1} x e^{x^{3}} d x de modo a garantir um erro inferior a 0,005.
Observação: Para garantir maior precisão, trabalhe com seis casas decimais nesta questão. Ao final, escolha a opção mais próxima da sua resposta.
a. -0,3718
b. -0,3724
c. -0,3730
d. -0,2002
e. -0,3695

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{-1,34}^{-0,34} x\,e^{x^{3}} \,dx
usando a Regra dos Trapézios Composta de modo que o erro seja menor que 0,005.
Conteúdo: método numérico de integração (Regra dos Trapézios Repetida) e estimativa de erro com base em \max|f''(x)|.

Passo 2

Definimos f(x)=x\,e^{x^3}. Para o erro da Regra dos Trapézios composta com n subintervalos vale
E_T \le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,M,
onde M=\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
Calculamos
f'(x)=e^{x^3}(1+3x^3), \quad f''(x)=3x^2\,(4+3x^3)\,e^{x^3}.
No intervalo [-1,34,-0,34] verifica-se numericamente \max|f''(x)|\approx1,6. Como b-a=1, exigimos
\frac{1^3}{12\,n^2}\,1,6 < 0,005 \quad\Longrightarrow\quad n^2 > \frac{1,6}{0,06}\approx26{,}667 \quad\Longrightarrow\quad n\ge6.

Passo 3

Tomamos n=6. Então
h=\frac{b-a}{n}=\frac{1}{6}\approx0,166667,
e os nós são
x_i = -1,34 + i\,h, \quad i=0,1,\dots,6.

Passo 4

Calculamos f(x_i)=x_i\,e^{x_i^3} com seis casas decimais:
\begin{aligned} x_0&=-1,340000,\quad f_0\approx-0,120760,\\\ x_1&=-1,173333,\quad f_1\approx-0,233470,\\\ x_2&=-1,006667,\quad f_2\approx-0,362810,\\\ x_3&=-0,840000,\quad f_3\approx-0,464390,\\\ x_4&=-0,673333,\quad f_4\approx-0,496300,\\\ x_5&=-0,506667,\quad f_5\approx-0,445050,\\\ x_6&=-0,340000,\quad f_6\approx-0,326000. \end{aligned}

Passo 5

Aplicando a Regra dos Trapézios:
T_6 = h\Bigl(\frac{f_0+f_6}{2}+\sum_{i=1}^{5}f_i\Bigr) =0,1666667\bigl(-0,223380-2,002020\bigr)\approx -0,370900.

Passo 6

Comparando com as opções, a aproximação -0,370900 está mais próxima de -0,3718.

Resposta

(a) -0,3718

Exercícios relacionados