(a) Escreva \cos (3 x) em termos de \cos (x).
(b) Mostre que, se um número racional irredutível \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{s}} (r e s inteiros não nulos primos entre si) é raiz de um polinômio
P(X)=a_{n} X^{n}+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_{1} X+a_{0}
de coeficientes inteiros, então s divide a_{n} e r divide a_{0}.
(c) Use os itens acima para mostrar que \cos \left(20^{\circ}\right) é um número irracional.

Passo 1

O enunciado tem três partes.
Em (a) queremos expressar \cos(3x) em função de \cos(x), usando identidades trigonométricas.
Em (b) precisamos provar o Teorema da Raiz Racional: se \tfrac{r}{s} (com \gcd(r,s)=1) é raiz de
P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_{1}X+a_{0},
então s\mid a_{n} e r\mid a_{0}.
Em (c) vamos aplicar (a) e (b) para mostrar que \cos(20^\circ) não pode ser racional.

Passo 2

Para obter a fórmula de \cos(3x) usamos a identidade de ângulo soma:
\cos(3x)=\cos(2x+x)=\cos(2x)\cos(x)-\sin(2x)\sin(x).
Sabemos que \cos(2x)=2\cos^2(x)-1 e \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x). Substituindo:
\cos(3x) =(2\cos^2(x)-1)\cos(x)-\bigl(2\sin(x)\cos(x)\bigr)\sin(x).
Como \sin^2(x)=1-\cos^2(x),
\cos(3x) =2\cos^3(x)-\cos(x)-2\cos(x)\bigl(1-\cos^2(x)\bigr) =2\cos^3(x)-\cos(x)-2\cos(x)+2\cos^3(x),
logo
\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x).

Passo 3

Suponha que \tfrac{r}{s} (com \gcd(r,s)=1) seja raiz de P, isto é,
a_{n}\Bigl(\frac{r}{s}\Bigr)^{n}+\cdots+a_{1}\frac{r}{s}+a_{0}=0.
Multiplicando tudo por s^n obtemos
a_{n}r^n+a_{n-1}r^{n-1}s+\cdots+a_{1}r\,s^{n-1}+a_{0}s^n=0.
Todos os termos, exceto a_{n}r^n, têm um fator s. Então s\mid a_{n}r^n. Como \gcd(r^n,s)=1, vem s\mid a_{n}.
Analogamente, isolamos a_{0}s^n=-\bigl(a_{n}r^n+\cdots+a_{1}r\,s^{n-1}\bigr) e vemos que r\mid a_{0}s^n. Como \gcd(r,s^n)=1, segue r\mid a_{0}.

Passo 4

Seja c=\cos(20^\circ). Pela parte (a) com x=20^\circ temos
\cos(60^\circ)=\tfrac12=4c^3-3c \quad\Longrightarrow\quad 8c^3-6c-1=0.
Logo c é raiz do polinômio inteiro
P(X)=8X^3-6X-1.
Se c=\tfrac{r}{s} em forma irreduzível, pelo Teorema da Raiz Racional s\mid 8 e r\mid(-1). Assim as únicas opções são
c\in\Bigl\{\pm1,\pm\tfrac12,\pm\tfrac14,\pm\tfrac18\Bigr\}.
Mas 0<\cos(20^\circ)<1 e \cos(20^\circ)\approx0,94, logo não coincide com nenhuma dessas frações. Portanto \cos(20^\circ) não é racional.

Resposta

(a) \cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x).
(b) Se \tfrac{r}{s} (irredutível) anula P, então s\mid a_{n} e r\mid a_{0}.
(c) \cos(20^\circ) é irracional.

Exercícios relacionados