(a) Escreva
em termos de
.
(b) Mostre que, se um número racional irredutível
(r e s inteiros não nulos primos entre si) é raiz de um polinômio
de coeficientes inteiros, então
divide
e
divide
.
(c) Use os itens acima para mostrar que
é um número irracional.
(b) Mostre que, se um número racional irredutível
(c) Use os itens acima para mostrar que
Passo 1
O enunciado tem três partes.
Em (a) queremos expressar em função de
, usando identidades trigonométricas.
Em (b) precisamos provar o Teorema da Raiz Racional: se (com
) é raiz de
Em (a) queremos expressar
Em (b) precisamos provar o Teorema da Raiz Racional: se
então
e
.
Em (c) vamos aplicar (a) e (b) para mostrar que não pode ser racional.
Em (c) vamos aplicar (a) e (b) para mostrar que
Passo 2
Para obter a fórmula de
usamos a identidade de ângulo soma:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Como
,
logo
Passo 3
Suponha que
(com
) seja raiz de
, isto é,
Multiplicando tudo por
obtemos
Todos os termos, exceto
, têm um fator
. Então
. Como
, vem
.
Analogamente, isolamos e vemos que
. Como
, segue
.
Analogamente, isolamos
Passo 4
Seja
. Pela parte (a) com
temos
Logo
é raiz do polinômio inteiro
Se
em forma irreduzível, pelo Teorema da Raiz Racional
e
. Assim as únicas opções são
Mas
e
, logo não coincide com nenhuma dessas frações. Portanto
não é racional.
Resposta
(a)
.
(b) Se (irredutível) anula
, então
e
.
(c) é irracional.
(b) Se
(c)