-6 Sejam a e b números reais tais que existem números reais distintos m, n e p, satisfazendo as igualdades abaixo:
\left\{\begin{array}{l} m^{3}+a m+b=0 \\\ n^{3}+a n+b=0 \\\ p^{3}+a p+b=0 \end{array}\right.
Mostre que m+n+p=0.

Passo 1

O enunciado diz que existem números reais distintos m,n,p tais que
\begin{cases} m^{3}+a m+b=0,\\\ n^{3}+a n+b=0,\\\ p^{3}+a p+b=0.
O conteúdo principal aqui é polinômio do 3º grau e o Teorema de Viète, que relaciona somas e produtos das raízes com os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Considere o polinômio monico
f(x)=x^3+a x+b.
Como m,n,p são raízes de f, podemos fatorar
f(x)=(x-m)(x-n)(x-p).
Ao expandir, obtemos a forma geral de um cubo monico:
(x-m)(x-n)(x-p) = x^3-\bigl(m+n+p\bigr)x^2+\bigl(mn+mp+np\bigr)x-mnp.

Passo 3

Comparando a expansão acima com f(x)=x^3+0\cdot x^2+a x+b, vemos que o coeficiente de x^2 em f(x) é zero. Pelo termo correspondente na expansão, isso implica
m+n+p=0.

Resposta

m+n+p=0

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