-6 Sejam a e b números reais tais que existem números reais distintos
e
, satisfazendo as igualdades abaixo:
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que existem números reais distintos
tais que
O conteúdo principal aqui é polinômio do 3º grau e o Teorema de Viète, que relaciona somas e produtos das raízes com os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Considere o polinômio monico
Como
são raízes de
, podemos fatorar
Ao expandir, obtemos a forma geral de um cubo monico:
Passo 3
Comparando a expansão acima com
, vemos que o coeficiente de
em
é zero. Pelo termo correspondente na expansão, isso implica