O7 Mostre que, para todo número natural
, o resto da divisão do polinômio
por
é igual a
.
Passo 1
O enunciado pede para dividir o polinômio
pelo polinômio divisor
e mostrar que, para todo
, o resto é
Como
, pelo Teorema da Divisão existe um quociente
e um resto de grau menor que 2, que escrevemos como
Para determinar
e
usamos as raízes de
, ou seja,
e
.
Passo 2
Substituindo
em
obtemos
e também
Como
, temos
Passo 3
Substituindo
na mesma relação, vem
e
Igualando
, obtemos
Passo 4
Resolvendo o sistema
somamos as duas equações e achamos
, logo
. Substituindo de volta em
, vem
. Portanto