O7 Mostre que, para todo número natural n>1, o resto da divisão do polinômio x^{2 n}+x+1 por x^{2}-1 é igual a x+2.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
P(x)=x^{2n}+x+1
pelo polinômio divisor
D(x)=x^{2}-1
e mostrar que, para todo n>1, o resto é
R(x)=x+2.
Como \deg D=2, pelo Teorema da Divisão existe um quociente Q(x) e um resto de grau menor que 2, que escrevemos como
R(x)=Ax+B.
Para determinar A e B usamos as raízes de D(x)=0, ou seja, x=1 e x=-1.

Passo 2

Substituindo x=1 em
P(x)=(x^2-1)\,Q(x)+Ax+B
obtemos
P(1)=1^{2n}+1+1=3,
e também
R(1)=A\cdot1+B=A+B.
Como P(1)=R(1), temos
A+B=3.

Passo 3

Substituindo x=-1 na mesma relação, vem
P(-1)=(-1)^{2n}+(-1)+1=1-1+1=1,
e
R(-1)=A\cdot(-1)+B=-A+B.
Igualando P(-1)=R(-1), obtemos
-A+B=1.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} A+B=3,\\\\ -A+B=1, \end{cases}
somamos as duas equações e achamos 2B=4, logo B=2. Substituindo de volta em A+B=3, vem A=1. Portanto
R(x)=Ax+B=x+2.

Resposta

x+2

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