Seja o sistema linear A x=b, onde A_{n \times n} é triangular inferior com
elementos na diagonal diferentes de zero. Este sistema é da forma
\begin{cases}a_{11} x_{1} & =b_{1} \\\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2} & =b_{2} \\\ \vdots & \\\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n} & =b_{n}\end{cases}
Considere o caso particular
\begin{cases}x_{1} & =2 \\\ x_{1}+2 x_{2} & =3 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} & =2\end{cases}
Para resolvê-lo usamos substituição direta
\begin{aligned} & x_{1}=2 \\\ & x_{2}=\frac{3-x_{1}}{2}=\frac{1}{2} \\\ & x_{3}=2+x_{2}-2 x_{1} \Rightarrow x_{3}=-\frac{3}{2} \end{aligned}
Na forma matricial
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 2 & -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\\\ 3 \\\\ 2 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear triangular inferior
\begin{cases} x_{1}=2,\\\ x_{1}+2x_{2}=3,\\\\ 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=2, \end{cases}
e pede a solução pelo método de substituição direta (também chamado de forward substitution). A ideia é resolver x_{1} na primeira equação, depois usar esse valor para achar x_{2} na segunda, e assim por diante.

Passo 2

Da primeira equação já vem direto
x_{1}=2.

Passo 3

Na segunda equação substituímos x_{1}:
x_{1}+2x_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad 2+2x_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad 2x_{2}=3-2 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Na terceira equação usamos x_{1}=2 e x_{2}=\tfrac12:
2x_{1}-x_{2}+x_{3}=2 \quad\Rightarrow\quad 2\cdot2-\tfrac12+x_{3}=2 \quad\Rightarrow\quad 4-\tfrac12+x_{3}=2 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=2-4+\tfrac12=-\tfrac{3}{2}.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=\bigl(2,\tfrac12,-\tfrac32\bigr).

Exercícios relacionados