Resolva o sistema linear abaixo usando eliminação gaussiana
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=1 \\\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=1,\\\ x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2,\\\\ 4x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=3. \end{cases}
Vamos usar eliminação de Gauss: montar a matriz ampliada, reduzir a forma triangular e depois aplicar substituição reversa para encontrar x_{1},x_{2},x_{3}.

Passo 2

Formamos a matriz ampliada e trocamos a linha 1 com a linha 2 para ter o pivô igual a 1 em (1,1):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\\\ 3 & 2 & 4 & 1\\\\ 4 & 3 & -2 & 3 \end{array}\right)

Passo 3

Eliminamos x_{1} nas linhas 2 e 3 usando
R_{2}\gets R_{2}-3\,R_{1},\quad R_{3}\gets R_{3}-4\,R_{1}.
Isso gera:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & -1 & -2 & -5\\\\ 0 & -1 & -10 & -5 \end{array}\right)

Passo 4

Para criar o pivô 1 em (2,2), fazemos R_{2}\gets -1\cdot R_{2}. Em seguida eliminamos x_{2} da linha 3 com R_{3}\gets R_{3}+R_{2}. Obtemos a forma triangular:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & 2 & 5\\\\ 0 & 0 & -8 & 0 \end{array}\right)

Passo 5

Agora aplicamos substituição reversa:
Da terceira linha, -8\,x_{3}=0 implica
x_{3}=0.
Da segunda linha, x_{2}+2x_{3}=5
x_{2}=5.
Da primeira linha, x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2
x_{1}=2-5= -3.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(-3,5,0)

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