Para estimar o valor atual da receita C(t) durante t, anos a uma taxa anual de juros i, devendo utilizar a \mathrm{V}(\mathrm{A})=\int_{0}^{\mathrm{T}} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \cdot \mathrm{t}} \cdot \mathrm{d}(\mathrm{t}). Utilizando a 2^{\mathrm{a}} Regra de Simpson composta com \mathrm{n}= 6, para determinar o valor atual da receita para os seguintes casos.
f(t)=200.000+15.000 \sqrt[3]{t}, i=10 \% e T=8.

Passo 1

O enunciado pede a estimativa do valor atual da receita
V = \int_{0}^{T} f(t)\,e^{-i\,t}\,dt
com f(t)=200000+15000\,t^{1/3}, i=0,10 e T=8, usando a 2ª regra composta de Simpson com n=6. Vamos aplicar a fórmula composta de Simpson para aproximar essa integral.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,8] em n=6 subintervalos de mesmo comprimento
h = \frac{T}{n} = \frac{8}{6} \approx 1{,}3333.
Os nós são
t_i = i\,h,\quad i=0,1,\dots,6,
isto é
t_0=0,\;t_1=1{,}3333,\;t_2=2{,}6667,\;t_3=4,\;t_4=5{,}3333,\;t_5=6{,}6667,\;t_6=8.

Passo 3

Em cada nó calculamos
f(t_i)=200000 + 15000\,t_i^{1/3},
e o integrando
g_i = f(t_i)\,e^{-0{,}1\,t_i}.
Os valores aproximados são:
i=0:
\;t_0=0,\;f(t_0)=200000,\;g_0=200000.
i=1:
\;t_1=1,3333,\;t_1^{1/3}\approx1,100,\;f(t_1)\approx216500,\;g_1\approx216500\,e^{-0,13333}\approx189438.
i=2:
\;t_2=2,6667,\;t_2^{1/3}\approx1,386,\;f(t_2)\approx220790,\;g_2\approx220790\,e^{-0,26667}\approx169270.
i=3:
\;t_3=4,\;t_3^{1/3}\approx1,5874,\;f(t_3)\approx223811,\;g_3\approx223811\,e^{-0,4}\approx149544.
i=4:
\;t_4=5,3333,\;t_4^{1/3}\approx1,744,\;f(t_4)\approx226160,\;g_4\approx226160\,e^{-0,53333}\approx132695.
i=5:
\;t_5=6,6667,\;t_5^{1/3}\approx1,880,\;f(t_5)\approx228200,\;g_5\approx228200\,e^{-0,66667}\approx117128.
i=6:
\;t_6=8,\;t_6^{1/3}=2,\;f(t_6)=230000,\;g_6=230000\,e^{-0,8}\approx103339.

Passo 4

A regra composta de Simpson diz
\int_{0}^{8} g(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\Bigl[g_0 + g_6 + 4\sum_{k=1,3,5}g_k + 2\sum_{k=2,4}g_k\Bigr].
Substituindo os g_i:
g_0+g_6 = 200000 + 103339 =303339,
4\sum_{k=1,3,5}g_k =4\,(189438+149544+117128)=1824438,
2\sum_{k=2,4}g_k =2\,(169270+132695)=603930.
Logo a soma total é
S =303339 + 1824438 + 603930 =2731707.
Portanto
\int_{0}^{8} g(t)\,dt \approx \frac{1{,}3333}{3}\;S \approx 0{,}44444\times2731707 \approx1214091.

Resposta

O valor atual da receita aproximado pela 2ª regra composta de Simpson com n=6 é
V \approx 1{,}214 \times 10^{6}.

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