Exercicio: Resolva por LU.
\left\{\begin{array}{l}3 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}+x_{4}=7 \\\ -6 x_{1}+4 x_{2}-8 x_{3}+x_{4}=-9 \\\ 9 x_{1}-6 x_{2}+19 x_{3}+x_{4}=23 \\\ 6 x_{1}-4 x_{2}-6 x_{3}+15 x_{4}=11\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 3x_{1}-2x_{2}+5x_{3}+x_{4}=7,\\\\ -6x_{1}+4x_{2}-8x_{3}+x_{4}=-9,\\\\ 9x_{1}-6x_{2}+19x_{3}+x_{4}=23,\\\\ 6x_{1}-4x_{2}-6x_{3}+15x_{4}=11 \end{cases}
usando decomposição LU (método de Doolittle, sem pivotamento). Vamos primeiro fatorar A=LU e depois resolver Ly=b e Ux=y.

Passo 2

Eliminação na coluna 1: o pivô inicial é a_{11}=3, então calculamos
l_{21}=\frac{-6}{3}=-2,\quad l_{31}=\frac{9}{3}=3,\quad l_{41}=\frac{6}{3}=2.
Subtraímos esses múltiplos da linha 1 às linhas 2, 3 e 4 para atualizar U. Após isso obtém-se temporariamente
U^{(1)}=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 & 1\\\\ 0 & 8 & 2 & -1\\\\ 0 & 0 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & -16 & 13 \end{pmatrix},
e na matriz L já temos os valores não-unitários na coluna 1.

Passo 3

Eliminação na coluna 2 e depois na coluna 3:
para coluna 2 o pivô é 8, logo
l_{32}=\frac{0}{8}=0,\quad l_{42}=\frac{0}{8}=0.
Para coluna 3, pivô 4,
l_{43}=\frac{-16}{4}=-4.
Eliminando com esses multiplicadores resulta em
U=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 & 1\\\\ 0 & 8 & 2 & -1\\\\ 0 & 0 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix},
e a matriz L completa fica
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -2 & 1 & 0 & 0\\\\ 3 & 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & -4 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora resolvemos Ly=b\) por substituição para frente. Com \(b=(7,-9,23,11)^T\): \[\begin{cases} y_{1}=7,\\\ y_{2}=-9-(-2)\cdot7=5,\\\ y_{3}=23-3\cdot7-0\cdot5=2,\\\ y_{4}=11-2\cdot7-0\cdot5-(-4)\cdot2=5. \end{cases}
Logo (y=(7,5,2,5)^T].

Passo 5

Em seguida resolvemos Ux=y por substituição para trás:
\begin{cases} 5\,x_{4}=5\implies x_{4}=1,\\\\ 4\,x_{3}-2\,x_{4}=2\implies 4x_{3}-2=2\implies x_{3}=1,\\\\ 8\,x_{2}+2\,x_{3}-x_{4}=5\implies 8x_{2}+2-1=5\implies x_{2}=\tfrac12,\\\\ 3\,x_{1}-2\,x_{2}+5\,x_{3}+x_{4}=7\implies 3x_{1}-1+5+1=7\implies x_{1}=\tfrac23. \end{cases}

Resposta

x_{1}=\tfrac23,\quad x_{2}=\tfrac12,\quad x_{3}=1,\quad x_{4}=1.

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