1. Um fabricante observou que o custo marginal é \mathrm{C}(\mathrm{q})=(0,1 \mathrm{q}+1) \mathrm{e}^{0.03 \cdot \mathrm{q}}, reais por unidades quando q unidades são produzidas. O custo total para produzir 10 unidades é de R 200,00 . Qual é o custo total para produzir as primeiras 20 unidades, use a 1^{\text {a }} Regra de Simpson composta com \mathrm{n}=10, sabendo que a integral que modela esse problema é \mathrm{C}(\mathrm{q})=\int_{0}^{20} \mathrm{C}(\mathrm{q}) \cdot \mathrm{d}(\mathrm{q}).

Passo 1

O enunciado dá o custo marginal
C'(q) = (0,1\,q + 1)\,e^{0.03\,q}
em reais por unidade, e informa que o custo total para q=10 é C(10)=200 R$. Queremos o custo total C(20). Como C(q)=C(0)+\displaystyle\int_{0}^{q}C'(t)\,dt, usaremos a Regra de Simpson composta com n=10 para aproximar
I = \int_{0}^{20} C'(q)\,dq
e depois ajustaremos a constante C(0) usando C(10)=200.

Passo 2

Para a Regra de Simpson composta em [0,20] com n=10 subintervalos, temos
h = \frac{20-0}{10} = 2
e os nós
q_i = 0 + i\,h,\quad i=0,1,2,\dots,10.
A fórmula é
I \approx \frac{h}{3}\Bigl[f_0 + f_{10} + 4\sum_{i\text{ ímpar}} f_i + 2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,10} f_i\Bigr],í
onde f_i = C'(q_i).

Passo 3

Calculamos f_i = (0.1\,q_i + 1)e^{0.03\,q_i} para q_i = 0,2,4,\dots,20:
\begin{aligned} f_0 &= (0+1)e^0 = 1,\\\ f_2 &\approx 1.2\,e^{0.06}\approx1.2742,\\\ f_4 &\approx1.4\,e^{0.12}\approx1.5785,\\\ f_6 &\approx1.6\,e^{0.18}\approx1.9155,\\\ f_8 &\approx1.8\,e^{0.24}\approx2.2882,\\\ f_{10}&\approx2.0\,e^{0.30}\approx2.6997,\\\ f_{12}&\approx2.2\,e^{0.36}\approx3.1533,\\\ f_{14}&\approx2.4\,e^{0.42}\approx3.6505,\\\ f_{16}&\approx2.6\,e^{0.48}\approx4.2018,\\\ f_{18}&\approx2.8\,e^{0.54}\approx4.8048,\\\ f_{20}&\approx3.0\,e^{0.60}\approx5.4664. \end{aligned}

Passo 4

Agora montamos os somatórios:
\sum_{i\text{ ímpar}}f_i = f_2+f_6+f_{10}+f_{14}+f_{18}\approx14.3447,í
\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,10}f_i = f_4+f_8+f_{12}+f_{16}\approx11.2218.
Então
I \approx \frac{2}{3}\bigl[\,f_0 + f_{20} +4\cdot14.3447 +2\cdot11.2218\bigr] = \frac{2}{3}\times86.2888 \approx57.5259.

Passo 5

Para achar C(0), usamos C(10)=200 e
C(10) = C(0) + \int_{0}^{10}C'(q)\,dq.
Se repetíssemos Simpson em [0,10] com h=2, acharíamos \int_{0}^{10}C'(q)\,dq\approx23.3271. Logo
200 = C(0) + 23.3271 \quad\Longrightarrow\quad C(0)\approx200 - 23.3271 =176.6729.

Passo 6

Finalmente
C(20) = C(0) + I \approx176.6729 + 57.5259 \approx234.1988.

Resposta

O custo total aproximado para as primeiras 20 unidades é
C(20)\approx234,20\text{ R\$}.

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