1. Um paciente recebe uma injeção de um medicamento t horas depois, a concentração de medicamento no sangue do paciente é dada por \mathrm{C}(\mathrm{t})=\frac{0,3 \mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}^{2}+16\right)^{1 / 2}} \mathrm{mg} / \mathrm{cm}^{3}. Use a regra do trapézio composta com \mathrm{n}=6, para determinar qual é a concentração média de medicamento nas primeiras três horas após a injeção?

Passo 1

O enunciado pede a concentração média de
C(t)=\frac{0,3\,t}{\sqrt{t^{2}+16}}
no intervalo de t=0 a t=3 horas, usando a regra do trapézio composta com n=6. O conteúdo envolve valor médio de função e aplicação da regra do trapézio.

Passo 2

O valor médio de C em [0,3] é
\bar C = \frac{1}{3-0}\int_{0}^{3}C(t)\,dt = \frac{1}{3}\int_{0}^{3}\frac{0,3\,t}{\sqrt{t^{2}+16}}\,dt.

Passo 3

Para a regra do trapézio composta com n=6 temos
h = \frac{3-0}{6} = 0,5,
\int_{0}^{3}C(t)\,dt \approx \frac{h}{2}\Bigl(C(0)+2\sum_{i=1}^{5}C(t_i)+C(3)\Bigr),
onde t_i = 0,0{,}5,1,1{,}5,2,2{,}5,3.

Passo 4

Avaliações aproximadas de C(t):
C(0)=0,\quad C(0,5)\approx0,03722,\quad C(1)\approx0,07277,\quad C(1,5)\approx0,1053,\quad C(2)\approx0,1342,\quad C(2,5)\approx0,1590,\quad C(3)=0,18.

Passo 5

Somando os termos internos:
\sum_{i=1}^{5}C(t_i)\approx0,03722+0,07277+0,1053+0,1342+0,1590=0,50845.

Passo 6

Aplicando a fórmula do trapézio:
\int_{0}^{3}C(t)\,dt \approx \frac{0,5}{2}\bigl(0 + 2\cdot0,50845 + 0,18\bigr) =0,29923.

Passo 7

Daí a concentração média é
\bar C = \frac{1}{3}\times0,29923 \approx 0,09974.

Resposta

0,09974 \text{mg/cm}^3 (aproximadamente)

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