Dê uma estimativa para o erro ao calcular o valor aproximado de e^-1,4.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente dar uma estimativa do erro quando aproximamos
e^-1,4
usando a série de Taylor (ou de Maclaurin). Então o conteúdo é Séries de Taylor e, em especial, o Teorema do Resto de Lagrange para dar essa estimativa. Vamos precisar:
1) A expansão de Maclaurin de .
2) A fórmula do resto de Lagrange.

Passo 2

A expansão de Maclaurin de e^x = sumk=0^n x^kk! ;+; Rn(x), até o termo de ordem é
onde é o resto (o erro) dessa aproximação.

Passo 3

Pelo Teorema do Resto de Lagrange, existe Rn(x) ;=;f^(n+1)(xi)(n+1)!,x^,n+1 entre 0 e tal que
No nosso caso , então .

Passo 4

Queremos e^xi <= maxtin[-1.4,0]e^t = e^0 = 1 . Como l|Rn(-1,4)r| ;=; l|e^xi(n+1)!,(-1,4)^,n+1r| ;<=; 1(n+1)!,l|-1,4r|^,n+1 ;=; 1.4^,n+1(n+1)! está entre 0 e , temos
Logo, em valor absoluto,

Resposta

O erro ao aproximar boxedl|Rn(-1,4)r|<= 1.4^,n+1(n+1)! pelo polinômio de Maclaurin de grau satisfaz

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