Um sistema sem amortecimento é descrito por
. Mostre analiticamente que este sistema entrará em ressonância e calcule a solução sabendo que
.
Passo 1
O problema dá a equação diferencial e as condições iniciais:
O que é pedido:
- Mostrar analiticamente que o sistema entra em ressonância.
- Calcular a solução que satisfaça as condições iniciais.
Informações relevantes que temos no enunciado:
- A parte homogênea é
. - A força externa é
, cuja frequência angular é . - As condições iniciais são
e .
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada para encontrar a solução geral homogênea (isso também revela a frequência natural do sistema).
A equação homogênea é
A equação característica é
cuja solução é
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes. A frequência natural do sistema é
(porque os termos trigonométricos têm argumento
).
Passo 3
Explicar por que há ressonância e qual método usar para achar uma solução particular.
A força externa é
, que tem a mesma frequência angular
da solução homogênea. Quando a frequência da força coincide com a frequência natural de um sistema não amortecido, diz-se que ocorre ressonância: a solução particular não será uma combinação simples de
e
(essas aparecem na homogênea) — em vez disso surge uma resposta que cresce no tempo (tipicamente multiplicada por
).
Para encontrar uma solução particular usaremos o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Se a força fosse
e não houvesse coincidência com a homogênea, tentaríamos
Mas como
e
pertencem ao espaço de soluções homogêneas, devemos multiplicar por
. Assim tomamos o ansatz (tentativa)
com
e
constantes a determinar. Esta forma reflete a ressonância (presença do fator
).
Passo 4
Calcular
e
com cuidado (regra do produto).
Começando por
Derivando usando a regra do produto:
Podemos reescrever:
Derivando novamente (novamente regra do produto e derivadas de
e
):
Calcule término a término: derivada de é
. Derivada de
é
. Somando,
Calcule término a término: derivada de
Passo 5
Substituir
em
e determinar
e
.
Compute:
Agrupando os termos em
e termos sem
, os termos com
se cancelam:
Queremos isto igual ao lado direito
. Assim obtemos o sistema para
:
Daí
Portanto a solução particular é
Passo 6
Formar a solução geral e aplicar as condições iniciais.
A solução geral é
Impor
:
Agora calcular
. Partimos da expressão já obtida para derivada da parte particular (ou derivamos de novo), mas com
tínhamos:
Derivada da homogênea com
é
. Assim
Impor
dá
Logo as constantes homogêneas são
.
Passo 7
Concluir a solução e comentar sobre a ressonância.
Com
a solução que satisfaz as condições iniciais é simplesmente a solução particular:
Essa forma mostra claramente a ressonância: a amplitude efetiva é proporcional a
, ou seja, cresce linearmente no tempo (em um sistema sem amortecimento isso significa resposta que cresce sem limite — característica da ressonância quando a frequência forçante coincide com a frequência natural).
Resposta
O sistema entra em ressonância (a frequência da força
).