Um sistema sem amortecimento é descrito por y^{\prime \prime}+16 y=\cos (4 t). Mostre analiticamente que este sistema entrará em ressonância e calcule a solução sabendo que y(0)=y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O problema dá a equação diferencial e as condições iniciais:
y'' + 16y = \cos(4t), \qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
O que é pedido:
  • Mostrar analiticamente que o sistema entra em ressonância.
  • Calcular a solução que satisfaça as condições iniciais.
Informações relevantes que temos no enunciado:
  • A parte homogênea é y''+16y=0.
  • A força externa é \cos(4t), cuja frequência angular é 4.
  • As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=0.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada para encontrar a solução geral homogênea (isso também revela a frequência natural do sistema).
A equação homogênea é
y''+16y=0.
A equação característica é
r^2+16=0,
cuja solução é r=\pm 4\mathrm{i}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t),
onde C_1 e C_2 são constantes. A frequência natural do sistema é \omega=4 (porque os termos trigonométricos têm argumento 4t).

Passo 3

Explicar por que há ressonância e qual método usar para achar uma solução particular.
A força externa é \cos(4t), que tem a mesma frequência angular 4 da solução homogênea. Quando a frequência da força coincide com a frequência natural de um sistema não amortecido, diz-se que ocorre ressonância: a solução particular não será uma combinação simples de \cos(4t) e \sin(4t) (essas aparecem na homogênea) — em vez disso surge uma resposta que cresce no tempo (tipicamente multiplicada por t).
Para encontrar uma solução particular usaremos o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Se a força fosse \cos(4t) e não houvesse coincidência com a homogênea, tentaríamos
y_p(t)=A\cos(4t)+B\sin(4t).
Mas como \cos(4t) e \sin(4t) pertencem ao espaço de soluções homogêneas, devemos multiplicar por t. Assim tomamos o ansatz (tentativa)
y_p(t)=t\bigl(A\cos(4t)+B\sin(4t)\bigr),
com A e B constantes a determinar. Esta forma reflete a ressonância (presença do fator t).

Passo 4

Calcular y_p' e y_p'' com cuidado (regra do produto).
Começando por
y_p(t)=t\bigl(A\cos(4t)+B\sin(4t)\bigr).
Derivando usando a regra do produto:
y_p'(t)=A\cos(4t)+B\sin(4t)+t\bigl(-4A\sin(4t)+4B\cos(4t)\bigr).
Podemos reescrever:
y_p'(t)=(A+4Bt)\cos(4t)+(B-4At)\sin(4t).
Derivando novamente (novamente regra do produto e derivadas de \cos e \sin):
Calcule término a término: derivada de (A+4Bt)\cos(4t) é 4B\cos(4t)-(A+4Bt)4\sin(4t). Derivada de (B-4At)\sin(4t) é -4A\sin(4t)+(B-4At)4\cos(4t). Somando,
y_p''(t)=(8B-16A t)\cos(4t)+(-8A-16B t)\sin(4t).

Passo 5

Substituir y_p em y''+16y e determinar A e B.
Compute:
y_p''+16y_p=(8B-16A t)\cos(4t)+(-8A-16B t)\sin(4t) +16t\bigl(A\cos(4t)+B\sin(4t)\bigr).
Agrupando os termos em t e termos sem t, os termos com t se cancelam:
y_p''+16y_p=8B\cos(4t)-8A\sin(4t).
Queremos isto igual ao lado direito \cos(4t). Assim obtemos o sistema para A,B:
8B=1,\qquad -8A=0.
Daí
A=0,\qquad B=\frac{1}{8}.
Portanto a solução particular é
y_p(t)=t\left(0\cdot\cos(4t)+\frac{1}{8}\sin(4t)\right)=\frac{1}{8}\,t\sin(4t).

Passo 6

Formar a solução geral e aplicar as condições iniciais.
A solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1\cos(4t)+C_2\sin(4t)+\frac{1}{8}t\sin(4t).
Impor y(0)=0:
y(0)=C_1+0+0=0 \quad\Rightarrow\quad C_1=0.
Agora calcular y'(t). Partimos da expressão já obtida para derivada da parte particular (ou derivamos de novo), mas com A=0,B=\tfrac{1}{8} tínhamos:
y_p'(t)=\frac{t}{2}\cos(4t)+\frac{1}{8}\sin(4t).
Derivada da homogênea com C_1=0 é y_h'(t)=4C_2\cos(4t). Assim
y'(t)=4C_2\cos(4t)+\frac{t}{2}\cos(4t)+\frac{1}{8}\sin(4t).
Impor y'(0)=0
y'(0)=4C_2+0+0=0 \quad\Rightarrow\quad C_2=0.
Logo as constantes homogêneas são C_1=C_2=0.

Passo 7

Concluir a solução e comentar sobre a ressonância.
Com C_1=C_2=0 a solução que satisfaz as condições iniciais é simplesmente a solução particular:
y(t)=\frac{1}{8}\,t\sin(4t).
Essa forma mostra claramente a ressonância: a amplitude efetiva é proporcional a t, ou seja, cresce linearmente no tempo (em um sistema sem amortecimento isso significa resposta que cresce sem limite — característica da ressonância quando a frequência forçante coincide com a frequência natural).

Resposta

O sistema entra em ressonância (a frequência da força \,4\,$ coincide com a frequência natural \(\,\omega=4).
y(t)=\frac{1}{8}\,t\sin(4t).)

Exercícios relacionados