Exeracios: A função f(x)=x^{3}-3 x+1 possui uma única raiz em (1,2).
Calcule-a usando o mNR com precisão \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-4} e usando 5 casas decimais. Tome x_{0}=1,5
Faça apenas o método numérico.

Passo 1

O enunciado pede aproximar a raiz de
f(x)=x^{3}-3x+1
no intervalo (1,2) usando o método de Newton–Raphson (mNR) com tolerâncias \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-4}, mantendo cada x_{n} com 5 casas decimais e tomando x_{0}=1,5.

Passo 2

No mNR precisamos da derivada
f'(x)=3x^{2}-3
e iterar segundo
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.

Passo 3

Iteração 1, com x_{0}=1,5:
f(1,5)=1,5^{3}-3\cdot1,5+1=-0,125, \quad f'(1,5)=3\cdot1,5^{2}-3=3,75,
x_{1}=1,5-\frac{-0,125}{3,75}=1,533333\ldots\approx1,53333.

Passo 4

Iteração 2, com x_{1}=1,53333:
f(1,53333)\approx0,005045, \quad f'(1,53333)\approx4,05333,
x_{2}=1,53333-\frac{0,005045}{4,05333}\approx1,532085\ldots\approx1,53209.

Passo 5

Iteração 3, com x_{2}=1,53209:
f(1,53209)\approx-0,000216, \quad f'(1,53209)\approx4,04186,
x_{3}=1,53209-\frac{-0,000216}{4,04186}\approx1,5321388\ldots\approx1,53214.

Passo 6

Iteração 4, com x_{3}=1,53214:
f(1,53214)\approx-0,000127, \quad f'(1,53214)\approx4,04234,
x_{4}=1,53214-\frac{-0,000127}{4,04234}\approx1,532171\ldots\approx1,53217.
Aqui \lvert x_{4}-x_{3}\rvert=0,00003<10^{-4}
e \lvert f(1,53217)\rvert\approx8{,}3\times10^{-5}<10^{-4},
portanto a iteração pára.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx1,53217.

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