Para as três questões abaixo, faça a decomposição L U com pivotação parcial da matriz do sistema linear A x=b :
\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 5 & -3 \\ 1 & 2 & 3 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 10 \\ 20 \\ 30 \\ 40 \end{array}\right]
Para L y=P b, qual o valor de y_{4} ?
○10,0000
\bigcirc-9,0910
\bigcirc-12,0000
O-6, 6665
(-) -8,5715

Passo 1

O enunciado pede a decomposição LU com pivotação parcial da matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & 2\\\\ 4 & 2 & 0 & 1\\\\ -2 & 1 & 5 & -3\\\\ 1 & 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}
de forma a satisfazer
P\,A = L\,U,
onde P é a matriz de permutações, L é unitária inferior e U é triangular superior. Em seguida resolvemos
L\,y = P\,b,
para encontrar y, e o que queremos é y_{4}.

Passo 2

No passo k=1 olhamos para a coluna 1 em todas as linhas 1 a 4 de A: os valores absolutos são \{0,4,2,1\}, o maior é 4 na linha 2. Então aplicamos a primeira permutação P_{1} trocando linha 1 com linha 2. Após isso a primeira coluna de A fica
\begin{pmatrix}4\\\ 0\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix},
e os multiplicadores para zerar as entradas abaixo do pivô são
L_{21} = \frac{0}{4}=0,\quad L_{31} = \frac{-2}{4}=-\tfrac12,\quad L_{41} = \frac{1}{4}=0{,}25.

Passo 3

No passo k=2 olhamos para a coluna 2 em linhas 2 a 4 do novo A: os valores são \{1,2,1{,}5\}, o maior é 2 na linha 3. Então aplicamos P_{2} trocando agora a linha 2 com a linha 3. Como houve esta troca, trocamos também os valores de L_{21} e L_{31}. Depois, para zerar abaixo do pivô na coluna 2, calculamos
L_{32} = \frac{1}{2}=0{,}5,\quad L_{42} = \frac{1{,}5}{2}=0{,}75.

Passo 4

No passo k=3 analisamos a coluna 3 em linhas 3 e 4: os pivôs candidatos são \{0{,}5,\,0{,}-0{,}75\} em valor absoluto \{0{,}5,0{,}75\}. O maior é 0{,}75 na linha 4, então aplicamos P_{3} trocando linha 3 com linha 4 e, em consequência, trocamos em L os valores das colunas 1 e 2 entre as linhas 3 e 4. Finalmente o multiplicador para zerar abaixo do pivô na coluna 3 é
L_{43} = \frac{0{,}5}{-0{,}75} = -\tfrac{2}{3}\approx -0{,}6667.

Passo 5

Juntando todos os P_{1},P_{2},P_{3} obtemos a permutação total P, de modo que
P\,b = \begin{pmatrix}20\\\ 30\\\ 40\\\ 10\end{pmatrix}.
A matriz L completa, com uns na diagonal, fica
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -0{,}5 & 1 & 0 & 0\\\\ 0{,}25 & 0{,}75 & 1 & 0\\\\ 0 & 0{,}5 & -\tfrac{2}{3} & 1 \end{pmatrix}.
Agora resolvemos
L\,y = P\,b
por substituição direta. Das quatro equações temos
\begin{cases} y_{1} = 20,\\\\ -0{,}5\,y_{1} + y_{2} = 30 \implies y_{2}=40,\\\\ 0{,}25\,y_{1} + 0{,}75\,y_{2} + y_{3} = 40 \implies y_{3}=5,\\\\ 0\cdot y_{1} +0{,}5\,y_{2} -\tfrac{2}{3}\,y_{3} + y_{4} =10 \implies 20 - \tfrac{2}{3}\cdot5 + y_{4} =10 \implies y_{4}=-\tfrac{20}{3}\approx -6{,}6667. \end{cases}

Resposta

-6{,}6667 (aproximadamente)

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