Questão 2

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Seja A uma matriz singular de tamanho 3 . O traço de A é 7 . A primeira coluna de A é \left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0\end{array}\right]^{T}. A última linha de A é \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 4\end{array}\right]. Qual o valor de a_{12} ?
Escolha uma opção:
a. 1
b. 0
C. 2
d. -1
e. 4

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz 3\times3 singular, com traço \operatorname{tr}(A)=7, primeira coluna
\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}
e última linha
\begin{pmatrix}0 & 0 & 4\end{pmatrix}.
Queremos encontrar a_{12}. Vamos usar que o traço é a soma dos elementos da diagonal e que singularidade implica \det(A)=0.

Passo 2

Denotamos as entradas desconhecidas de A. Como já sabemos a primeira coluna e a última linha, escrevemos
A = \begin{pmatrix} 1 & a_{12} & a_{13}\\\\ 1 & a_{22} & a_{23}\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Pela definição de traço,
\operatorname{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 1 + a_{22} + 4 = 7,
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1 + a_{22} + 4 = 7 \quad\Longrightarrow\quad a_{22} = 2.

Passo 4

Como A é singular, temos \det(A)=0. Expandindo pela terceira linha:
\det(A) = 0\cdot C_{31} + 0\cdot C_{32} + 4\cdot C_{33} = 4 \cdot \det\begin{pmatrix}1 & a_{12}\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} = 4\,(1\cdot 2 - 1\cdot a_{12}) = 4\,(2 - a_{12}).
Para \det(A)=0 precisa dar 2 - a_{12}=0, daí
a_{12} = 2.]

Resposta

(c)

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