Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
(c) \frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+1}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série cujos termos gerais são
a_n=\frac{n}{n^{2}+1},
começando em n=1 (os primeiros termos são \tfrac{1}{2},\tfrac{2}{5},\ldots). A pergunta é: a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}
converge ou diverge?
Informações relevantes dadas: os termos são positivos para todo n\ge1 e, para n grande, a forma \dfrac{n}{n^{2}+1} lembra \dfrac{1}{n}.

Passo 2

Intuição e escolha do método: quando um termo geral tem comportamento aproximadamente igual a \dfrac{1}{n} para n grande, é natural comparar com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}. A série harmônica diverge, então se conseguirmos comparar de forma rigorosa nosso termo com \dfrac{1}{n} (ou com uma constante vezes \dfrac{1}{n}), dá para concluir sobre divergência. Vou usar um teste de comparação direto e, em seguida, mostrar também a versão por limite (teste da comparação em limite) para consolidar.

Passo 3

Desenvolvendo a desigualdade de comparação direta. Para n\ge1 vale
n^{2}+1 \le n^{2}+n^{2}=2n^{2}.
Isso implica
\frac{n}{n^{2}+1} \ge \frac{n}{2n^{2}}=\frac{1}{2n}.
Portanto, para todo n\ge1,
a_n=\frac{n}{n^{2}+1}\ge \frac{1}{2n}.

Passo 4

Explicando o teste de comparação usado (a ideia por trás). O teste de comparação direta diz: se 0\le b_n\le a_n para todo n e a série \sum b_n diverge, então a série \sum a_n também diverge (porque seus termos são maiores, somam pelo menos tanto quanto a série divergente). Aqui tomamos b_n=\dfrac{1}{2n}, que é não negativa e, conforme a desigualdade acima, satisfaz b_n\le a_n.

Passo 5

Mostrar que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n} diverge. Note que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a série harmônica conhecida por divergir. Um argumento simples (agrupamento) para a divergência da harmônica é: agrupando termos
1+\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}_{\ge 2\cdot\frac{1}{4}}+\underbrace{\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}}_{\ge 4\cdot\frac{1}{8}}+\underbrace{\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{16}}_{\ge 8\cdot\frac{1}{16}}+\cdots
cada grupo a partir do terceiro contribui pelo menos \tfrac{1}{2}, então as somas parciais crescem sem limite; portanto a harmônica diverge. Logo \sum \dfrac{1}{2n} também diverge (multiplicar por constante positiva não altera a propriedade de divergência).

Passo 6

Concluindo pela comparação direta: como para todo n\ge1 tem \dfrac{n}{n^{2}+1}\ge \dfrac{1}{2n} e a série \sum \dfrac{1}{2n} diverge, a série \sum \dfrac{n}{n^{2}+1} também diverge.

Passo 7

(Método alternativo — teste da comparação por limite, só para confirmar e praticar) Considere
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{n^{2}+1}}{\dfrac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}.
Dividindo numerador e denominador por n^{2} obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\tfrac{1}{n^{2}}}=1.
Como esse limite é um número finito e positivo, o teste da comparação por limite diz que \sum a_n e \sum \dfrac{1}{n} têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). A harmônica diverge, logo \sum a_n diverge — mesmo resultado que antes.

Passo 8

Resumo final e incentivo: a série tem termos positivos e comporta-se como a harmônica para n grande, por comparação (direta ou por limite) diverge. Bom trabalho — essa é uma boa técnica a decorar: sempre compare com \dfrac{1}{n} quando o termo parecer da ordem de \dfrac{1}{n}.

Resposta

A série diverge.

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