Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
(c) \frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+1}+\cdots
Passo 1
O enunciado dá a série cujos termos gerais são
a_n=\frac{n}{n^{2}+1},
começando em n=1 (os primeiros termos são \tfrac{1}{2},\tfrac{2}{5},\ldots). A pergunta é: a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}
converge ou diverge?
Informações relevantes dadas: os termos são positivos para todo n\ge1 e, para n grande, a forma \dfrac{n}{n^{2}+1} lembra \dfrac{1}{n}.
Passo 2
Intuição e escolha do método: quando um termo geral tem comportamento aproximadamente igual a \dfrac{1}{n} para n grande, é natural comparar com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}. A série harmônica diverge, então se conseguirmos comparar de forma rigorosa nosso termo com \dfrac{1}{n} (ou com uma constante vezes \dfrac{1}{n}), dá para concluir sobre divergência. Vou usar um teste de comparação direto e, em seguida, mostrar também a versão por limite (teste da comparação em limite) para consolidar.
Passo 3
Desenvolvendo a desigualdade de comparação direta. Para n\ge1 vale
Explicando o teste de comparação usado (a ideia por trás). O teste de comparação direta diz: se 0\le b_n\le a_n para todo n e a série \sum b_n diverge, então a série \sum a_n também diverge (porque seus termos são maiores, somam pelo menos tanto quanto a série divergente). Aqui tomamos b_n=\dfrac{1}{2n}, que é não negativa e, conforme a desigualdade acima, satisfaz b_n\le a_n.
Passo 5
Mostrar que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n} diverge. Note que
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a série harmônica conhecida por divergir. Um argumento simples (agrupamento) para a divergência da harmônica é: agrupando termos
cada grupo a partir do terceiro contribui pelo menos \tfrac{1}{2}, então as somas parciais crescem sem limite; portanto a harmônica diverge. Logo \sum \dfrac{1}{2n} também diverge (multiplicar por constante positiva não altera a propriedade de divergência).
Passo 6
Concluindo pela comparação direta: como para todo n\ge1 tem \dfrac{n}{n^{2}+1}\ge \dfrac{1}{2n} e a série \sum \dfrac{1}{2n} diverge, a série \sum \dfrac{n}{n^{2}+1} também diverge.
Passo 7
(Método alternativo — teste da comparação por limite, só para confirmar e praticar) Considere
Dividindo numerador e denominador por n^{2} obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\tfrac{1}{n^{2}}}=1.
Como esse limite é um número finito e positivo, o teste da comparação por limite diz que \sum a_n e \sum \dfrac{1}{n} têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). A harmônica diverge, logo \sum a_n diverge — mesmo resultado que antes.
Passo 8
Resumo final e incentivo: a série tem termos positivos e comporta-se como a harmônica para n grande, por comparação (direta ou por limite) diverge. Bom trabalho — essa é uma boa técnica a decorar: sempre compare com \dfrac{1}{n} quando o termo parecer da ordem de \dfrac{1}{n}.