Exercício 5: Aproximar f(x)=\operatorname{sen}(2 x) por uma reta g(x)=2 a_{1}+a_{2} x no intervalo [0, \pi / 4].

Passo 1

O enunciado pede para aproximar por mínimos quadrados a função
f(x)=\operatorname{sen}(2x)
por uma reta
g(x)=2a_{1}+a_{2}x
no intervalo [0,\pi/4].
O conteúdo necessário é o método de aproximação por mínimos quadrados (espaço L^{2}), que leva a um sistema normal obtido impondo
\partial E/\partial a_{i}=0, onde
E(a_{1},a_{2})=\int_{0}^{\pi/4}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]^{2}dx.

Passo 2

Escrevendo as equações normais:
\frac{\partial E}{\partial a_{1}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{\pi/4}\bigl[\operatorname{sen}(2x)-2a_{1}-a_{2}x\bigr]\cdot2\,dx=0,
\frac{\partial E}{\partial a_{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{\pi/4}\bigl[\operatorname{sen}(2x)-2a_{1}-a_{2}x\bigr]\,x\,dx=0.
Isso dá o sistema
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sen}(2x)\,dx = \int_{0}^{\pi/4}\bigl(2a_{1}+a_{2}x\bigr)\,dx,
\int_{0}^{\pi/4}x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx = \int_{0}^{\pi/4}x\bigl(2a_{1}+a_{2}x\bigr)\,dx.

Passo 3

Calculemos os integrais independentes:
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sen}(2x)\,dx = \Bigl[-\tfrac12\cos(2x)\Bigr]_{0}^{\pi/4} = \tfrac12,
\int_{0}^{\pi/4}x\,\operatorname{sen}(2x)\,dx = \Bigl[-\tfrac{x}{2}\cos(2x)+\tfrac14\operatorname{sen}(2x)\Bigr]_{0}^{\pi/4} = \tfrac14.
E os integrais com a_{1},a_{2}:
\int_{0}^{\pi/4}\bigl(2a_{1}+a_{2}x\bigr)\,dx =2a_{1}\,\frac{\pi}{4} + a_{2}\,\frac{(\pi/4)^{2}}{2} = \frac{\pi}{2}a_{1}+\frac{\pi^{2}}{32}a_{2},
\int_{0}^{\pi/4}x\bigl(2a_{1}+a_{2}x\bigr)\,dx =2a_{1}\,\frac{(\pi/4)^{2}}{2} + a_{2}\,\frac{(\pi/4)^{3}}{3} = \frac{\pi^{2}}{16}a_{1}+\frac{\pi^{3}}{192}a_{2}.

Passo 4

Substituindo nos sistemas normais obtém-se
\begin{cases} \displaystyle \frac{\pi}{2}a_{1}+\frac{\pi^{2}}{32}a_{2}=\frac{1}{2},\\[1em] \displaystyle \frac{\pi^{2}}{16}a_{1}+\frac{\pi^{3}}{192}a_{2}=\frac{1}{4}. \end{cases}
O determinante vale
D =\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\pi^{3}}{192} -\frac{\pi^{2}}{16}\cdot\frac{\pi^{2}}{32} =\frac{\pi^{4}}{1536}.
Resolvendo por Cramer, achamos
a_{1} =\frac{4(\pi-3)}{\pi^{2}}, \qquad a_{2} =\frac{48(4-\pi)}{\pi^{3}}.]

Passo 5

Logo a reta de melhor ajuste por mínimos quadrados é
g(x)=2a_{1}+a_{2}x =2\,\frac{4(\pi-3)}{\pi^{2}} +\frac{48(4-\pi)}{\pi^{3}}\,x.

Resposta

a_{1}=\frac{4(\pi-3)}{\pi^{2}}, \qquad a_{2}=\frac{48(4-\pi)}{\pi^{3}},
g(x)=2\,\frac{4(\pi-3)}{\pi^{2}} +\frac{48(4-\pi)}{\pi^{3}}\,x.

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