Exercício 4) Considere o sistema de ponto flutuante normalizado \operatorname{SPF}(3,2,-1,2) de base 3 , 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a -1 e maior expoente 2 .
Para este sistema, temos que:
x=(0,10) \_3 \times 3^{\wedge}-1
\mathrm{y}=(0,12) \_3 \times 3^{\wedge} 2
Verifique e comprove se (x+y) é exatamente representável neste SPF. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado dá um sistema de ponto flutuante normalizado \operatorname{SPF}(3,2,-1,2) com:
  • base \beta=3;
  • precisão (número de dígitos significativos) p=2;
  • menor expoente e_{\min}=-1 e maior expoente e_{\max}=2.
As entradas fornecidas são:
  • x=(0,10)_3\times 3^{-1};
  • y=(0,12)_3\times 3^{2}.
O que se pede: verificar e comprovar se (x+y) é exatamente representável neste SPF, ou seja, se o valor exato x+y coincide com um número do conjunto de máquinas do SPF sem necessidade de arredondamento.

Passo 2

Interpretação da notação e cálculo de x e y em forma numérica racional (explicando cada passo para ficar claro).
  • A notação (0,10)_3 significa sinal 0 (positivo) e mantissa com dois dígitos 1 e 0. Em base 3, a mantissa representada é 1{,}0_3 (ou seja 1 + 0\cdot3^{-1}=1). Logo
x = 1_3 \times 3^{-1} = \frac{1}{3}.
  • A notação (0,12)_3 significa mantissa 1{,}2_3. Em base 3 isso vale 1 + 2\cdot 3^{-1} = 1 + \tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{3}. Assim
y = \frac{5}{3}\times 3^{2} = \frac{5}{3}\times 9 = 15.
Resumo numérico:
x=\frac{1}{3},\qquad y=15.

Passo 3

Calcular a soma exata x+y:
x+y = 15 + \frac{1}{3} = \frac{45}{3} + \frac{1}{3} = \frac{46}{3}.
Queremos ver se \dfrac{46}{3} é representável exatamente como um número do SPF (isto é, se existe mantissa com p=2 dígitos em base 3 e expoente entre -1 e 2 que produza esse valor).

Passo 4

Normalizar a soma na forma m\times 3^{e} com 1 \le m < 3 (normalização em base 3):
  • Procuramos e tal que m=(46/3)/3^{e} esteja em [1,3).
  • Tentar e=2: m=\dfrac{46/3}{3^{2}}=\dfrac{46}{27}. Como \dfrac{46}{27}\approx1{,}7037\in[1,3), a forma normalizada é
x+y = \frac{46}{3} = \left(\frac{46}{27}\right)\times 3^{2}.
Portanto o expoente normalizado é e=2 e a mantissa exata é m=\dfrac{46}{27}.

Passo 5

Converter a mantissa m=\dfrac{46}{27} para base 3 e verificar quantos dígitos são necessários.
  • Primeiro dígito (parte inteira): \lfloor m\rfloor = 1. Então o primeiro dígito é 1.
  • Resto após retirar a parte inteira:
f_1 = m-1 = \frac{46}{27}-1 = \frac{19}{27}.
  • Segundo dígito: multiplicar f_1 por 3:
3 f_1 = \frac{57}{27} = \frac{19}{9} = 2 + \frac{1}{9}.
Logo o segundo dígito é 2 e sobra um resto
f_2 = 3 f_1 - 2 = \frac{1}{9}\neq 0.
Assim a expansão em base 3 começa
m = 1{,}2\;1\ldots_3
onde já no terceiro dígito aparece 1 (porque f_2=\tfrac{1}{9} multiplicado por 3 \tfrac{1}{3} e assim por diante). Em particular, a mantissa exata tem pelo menos três dígitos não nulos após normalização.

Passo 6

Concluir sobre representabilidade com p=2.
  • O SPF tem precisão p=2, isto é, só armazena 2 dígitos significativos na mantissa (um dígito antes do ponto mais um dígito depois do ponto: d_1.d_2 em base 3).
  • A mantissa exata de x+y em base 3 começa por 1{,}2 mas tem resto não nulo após esses dois dígitos ( f_2=\tfrac{1}{9}). Logo é impossível representar exatamente m=\dfrac{46}{27} com apenas 2 dígitos na mantissa.
  • Outro modo de ver (adição com alinhamento de expoentes): para somar x e y no formato máquina, alinha-se expoentes no maior expoente 2. Escrevendo x com expoente 2 obtém-se a mantissa deslocada
x = \frac{1}{3} = \frac{1}{27}\times 3^{2} \quad\text{e}\quad \frac{1}{27}=0{,}001_3.
Somando mantissas em base 3:
1{,}2_3 + 0{,}001_3 = 1{,}201_3,
que tem um terceiro dígito 1 não-nulo; então com p=2 falta precisão e o resultado exato não cabe no SPF.
Portanto a soma exata não é um número máquina do SPF.

Resposta

Não — x+y=\dfrac{46}{3} não é exatamente representável em \operatorname{SPF}(3,2,-1,2).

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