Exercício 4) Considere o sistema de ponto flutuante normalizado
de base 3 , 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a -1 e maior expoente 2 .
Para este sistema, temos que:
Verifique e comprove se
é exatamente representável neste SPF. (2 pontos)
Verifique e comprove se
Passo 1
O enunciado dá um sistema de ponto flutuante normalizado
com:
- base
; - precisão (número de dígitos significativos)
; - menor expoente
e maior expoente .
As entradas fornecidas são:
-
; -
.
O que se pede: verificar e comprovar se
é exatamente representável neste SPF, ou seja, se o valor exato
coincide com um número do conjunto de máquinas do SPF sem necessidade de arredondamento.
Passo 2
Interpretação da notação e cálculo de
e
em forma numérica racional (explicando cada passo para ficar claro).
- A notação
significa sinal (positivo) e mantissa com dois dígitos e . Em base , a mantissa representada é (ou seja ). Logo
- A notação
significa mantissa . Em base isso vale . Assim
Resumo numérico:
Passo 3
Calcular a soma exata
:
Queremos ver se
é representável exatamente como um número do SPF (isto é, se existe mantissa com
dígitos em base
e expoente entre
e
que produza esse valor).
Passo 4
Normalizar a soma na forma
com
(normalização em base
):
- Procuramos
tal que esteja em . - Tentar
: . Como , a forma normalizada é
Portanto o expoente normalizado é
e a mantissa exata é
.
Passo 5
Converter a mantissa
para base
e verificar quantos dígitos são necessários.
- Primeiro dígito (parte inteira):
. Então o primeiro dígito é . - Resto após retirar a parte inteira:
- Segundo dígito: multiplicar
por :
Logo o segundo dígito é
e sobra um resto
Assim a expansão em base
começa
onde já no terceiro dígito aparece
(porque
multiplicado por
dá
e assim por diante). Em particular, a mantissa exata tem pelo menos três dígitos não nulos após normalização.
Passo 6
Concluir sobre representabilidade com
.
- O SPF tem precisão
, isto é, só armazena dígitos significativos na mantissa (um dígito antes do ponto mais um dígito depois do ponto: em base ). - A mantissa exata de
em base começa por mas tem resto não nulo após esses dois dígitos ( ). Logo é impossível representar exatamente com apenas dígitos na mantissa. - Outro modo de ver (adição com alinhamento de expoentes): para somar
e no formato máquina, alinha-se expoentes no maior expoente . Escrevendo com expoente obtém-se a mantissa deslocada
Somando mantissas em base
:
que tem um terceiro dígito
não-nulo; então com
falta precisão e o resultado exato não cabe no SPF.
Portanto a soma exata não é um número máquina do SPF.
Resposta
Não —
não é exatamente representável em
.