Exercício 2. De uma função
sabemos que
0
0,2
0,4
0,67
0,82
1
1,22
1,49
. Calcule aproximadamente e estime o erro cometido:
por interpolação linear;
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0 | 0,2 | 0,4 |
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0,67 | 0,82 | 1 | 1,22 | 1,49 |
Passo 1
O enunciado pede que se calcule aproximadamente
usando interpolação linear a partir da tabela dada e que se estime o erro cometido. Dados fornecidos (pegos da tabela do enunciado):
-
. -
.
O pedido específico:
- Aproximar
por interpolação linear. - Estimar o erro dessa interpolação (ou seja, dar uma cota/estimativa do resto).
Passo 2
Explicação do método: interpolação linear entre dois pontos próximos.
- Se escolhemos dois pontos
e com valores e , a interpolação linear dá a aproximante (reta entre os pontos)
Aqui
é a inclinação da reta que passa pelos pontos
e
. Para obter
é natural usar os pontos mais próximos de
, ou seja
e
.
Passo 3
Aplicando a fórmula com
e
:
- Calcular a inclinação:
- Avaliar
:
Portanto a aproximação por interpolação linear é
.
Passo 4
Agora a estimativa do erro. Fórmula do resto para interpolação linear (forma de Lagrange / Taylor): existe
entre
e
tal que
Aqui
é o ponto onde avaliamos (no caso
),
e
são os nós usados e
é a segunda derivada de
em algum ponto
no intervalo
. Em módulo:
onde
. Portanto precisamos estimar
no intervalo
.
Passo 5
Estimando
a partir dos dados (diferenças finitas). Usamos a fórmula aproximada de derivada segunda centrada com passo
:
- Em
(usando ):
- Em
(usando ):
- Em
(usando ):
Essas três estimativas sugerem que
no intervalo
está na faixa aproximada
. Para obter uma cota segura para
no subintervalo
(onde interessa) podemos tomar
como um valor conservador.
Passo 6
Calcular a cota do erro em
. Primeiro compute
com
:
Logo, usando a desigualdade do passo anterior,
Com a cota conservadora
obtemos
Se usarmos a estimativa central
(valor médio das estimativas), então o erro seria aproximadamente
ou seja erro aproximado em magnitude
(com sinal negativo, indicando que a reta sobreestima ligeiramente se este sinal se mantiver).
Passo 7
Interpretação final e recomendação prática:
- Aproximação por interpolação linear:
. - Estimativa do erro: erro em módulo aproximadamente
; uma cota conservadora para o erro é . Assim pode-se escrever
Resposta
Estimativa do erro: