Exercício 2. De uma função f sabemos que
x -0,4 -0,2 0 0,2 0,4
f(x) 0,67 0,82 1 1,22 1,49
. Calcule aproximadamente e estime o erro cometido:
f(0,1) por interpolação linear;

Passo 1

O enunciado pede que se calcule aproximadamente f(0,1) usando interpolação linear a partir da tabela dada e que se estime o erro cometido. Dados fornecidos (pegos da tabela do enunciado):
  • x=-0,4,\\\ -0,2,\\\ 0,\\\ 0,2,\\\ 0,4.
  • f(-0,4)=0,67,\\ f(-0,2)=0,82,\\ f(0)=1,\\ f(0,2)=1,22,\\ f(0,4)=1,49.
O pedido específico:
  • Aproximar f(0,1) por interpolação linear.
  • Estimar o erro dessa interpolação (ou seja, dar uma cota/estimativa do resto).

Passo 2

Explicação do método: interpolação linear entre dois pontos próximos.
  • Se escolhemos dois pontos x_0 e x_1 com valores f(x_0) e f(x_1), a interpolação linear dá a aproximante (reta entre os pontos)
L(x)=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\,(x-x_0).
Aqui \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} é a inclinação da reta que passa pelos pontos (x_0,f(x_0)) e (x_1,f(x_1)). Para obter f(0,1) é natural usar os pontos mais próximos de 0,1, ou seja x_0=0 e x_1=0,2.

Passo 3

Aplicando a fórmula com x_0=0 e x_1=0,2:
  • Calcular a inclinação:
\frac{f(0,2)-f(0)}{0,2-0}=\frac{1,22-1}{0,2}=\frac{0,22}{0,2}=1,1.
  • Avaliar L(0,1):
L(0,1)=f(0)+1{,}1\cdot(0,1-0)=1+1{,}1\cdot0{,}1=1+0{,}11=1{,}11.
Portanto a aproximação por interpolação linear é f(0,1)\approx1{,}11.

Passo 4

Agora a estimativa do erro. Fórmula do resto para interpolação linear (forma de Lagrange / Taylor): existe \xi entre x_0 e x_1 tal que
R_1(x)=f(x)-L(x)=\frac{f''(\xi)}{2}\,(x-x_0)(x-x_1).
Aqui x é o ponto onde avaliamos (no caso x=0,1), x_0 e x_1 são os nós usados e f''(\xi) é a segunda derivada de f em algum ponto \xi no intervalo [x_0,x_1]. Em módulo:
|R_1(x)|\le \frac{M}{2}\,|x-x_0|\,|x-x_1|,
onde M=\max_{t\in[x_0,x_1]}|f''(t)|. Portanto precisamos estimar f'' no intervalo [0,0,2].

Passo 5

Estimando f'' a partir dos dados (diferenças finitas). Usamos a fórmula aproximada de derivada segunda centrada com passo h=0,2:
f''(x)\approx\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}.
  • Em x=0 (usando x=-0,2,0,2):
f''(0)\approx\frac{f(0,2)-2f(0)+f(-0,2)}{(0,2)^2}=\frac{1{,}22-2\cdot1+0{,}82}{0{,}04}=\frac{0{,}04}{0{,}04}=1.
  • Em x=0,2 (usando x=0,0,4):
f''(0,2)\approx\frac{f(0,4)-2f(0,2)+f(0)}{0{,}04}=\frac{1{,}49-2\cdot1{,}22+1}{0{,}04}=\frac{0{,}05}{0{,}04}=1{,}25.
  • Em x=-0,2 (usando x=-0,4,0):
f''(-0,2)\approx\frac{f(0)-2f(-0,2)+f(-0,4)}{0{,}04}=\frac{1-2\cdot0{,}82+0{,}67}{0{,}04}=\frac{0{,}03}{0{,}04}=0{,}75.
Essas três estimativas sugerem que f''(t) no intervalo [-0,2,0,4] está na faixa aproximada [0{,}75,\,1{,}25]. Para obter uma cota segura para M no subintervalo [0,0,2] (onde interessa) podemos tomar M\approx1{,}25 como um valor conservador.

Passo 6

Calcular a cota do erro em x=0,1. Primeiro compute |x-x_0||x-x_1| com x_0=0,\\ x_1=0,2,\\ x=0,1:
|0{,}1-0|\,|0{,}1-0{,}2|=0{,}1\cdot0{,}1=0{,}01.
Logo, usando a desigualdade do passo anterior,
|R_1(0,1)|\le\frac{M}{2}\cdot0{,}01=0{,}005\,M.
Com a cota conservadora M=1{,}25 obtemos
|R_1(0,1)|\le0{,}005\cdot1{,}25=0{,}00625.
Se usarmos a estimativa central f''(0)\approx1 (valor médio das estimativas), então o erro seria aproximadamente
R_1(0,1)\approx\frac{1}{2}\cdot1\cdot(0{,}1)(-0{,}1)=-0{,}005,
ou seja erro aproximado em magnitude 0{,}005 (com sinal negativo, indicando que a reta sobreestima ligeiramente se este sinal se mantiver).

Passo 7

Interpretação final e recomendação prática:
  • Aproximação por interpolação linear: f(0,1)\approx1{,}11.
  • Estimativa do erro: erro em módulo aproximadamente 0{,}005; uma cota conservadora para o erro é 0{,}00625. Assim pode-se escrever
f(0,1)\approx1{,}11\pm0{,}0063.

Resposta

f(0,1)\approx1{,}11
Estimativa do erro: |R_1(0,1)|\lesssim0{,}00625 (erro aproximado \approx0{,}005).

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