Exercício 5. Suponha que se queira construir uma tabela para a funçāo y=\ln (x) no intervalo [1,10] de tal maneira que. ao ser aplicada nessa tabela, a interpolação linear sorneça resultados com seis casas decimais corretas. Determine o passo li dessa tabela.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a função \,y=\ln(x)\, no intervalo \,[1,10]\,.
  • Pedido: escolher o passo h da tabela (distância entre nós uniformes) de modo que, ao usar interpolação linear entre nós consecutivos, o valor aproximado de \ln(x) tenha seis casas decimais corretas.
Observação importante sobre “seis casas decimais corretas”: para garantir que o valor arredondado tenha as seis casas decimais corretas, é suficiente exigir que o erro absoluto da aproximação seja menor que \,5\cdot10^{-7}\, (metade da unidade na sexta casa decimal). Vou usar esse critério como tolerância.

Passo 2

Apresento a fórmula do erro da interpolação linear entre dois nós e explico de onde vem.
Se f é duas vezes diferenciável e se interpolamos linearmente f em dois nós consecutivos x_0 e x_1=x_0+h, então, para qualquer x\in[x_0,x_1], existe \xi\in(x_0,x_1) tal que
f(x)-L(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{2}\,f''(\xi),
onde L(x) é o polinômio afim (reta) que interpola f em x_0 e x_1.
Breve justificativa (intuição): expandindo f em série de Taylor em torno de x_0 até a primeira ordem e comparando com a reta que passa por (x_0,f(x_0)) e (x_1,f(x_1)), o termo de segunda ordem aparece como resto e, aplicando o teorema do valor médio para restos, obtém-se a forma acima com f''(\xi).

Passo 3

A partir da expressão do erro, faço um limite superior prático para o erro absoluto em cada subintervalo de comprimento h.
No subintervalo [x_0,x_1] definimos h=x_1-x_0. O produto (x-x_0)(x-x_1) atinge, em valor absoluto, seu máximo no ponto médio x=x_0+\tfrac{h}{2}, cujo valor absoluto é
\left|(x-x_0)(x-x_1)\right|_{\max}=\frac{h^2}{4}.
Usando isso na fórmula do erro, obtemos o majorante
\left|f(x)-L(x)\right|\le \frac{h^2}{8}\,M_2,
onde M_2=\displaystyle\max_{x\in[1,10]}|f''(x)|. Ou seja, o erro máximo em qualquer subintervalo de comprimento h é no máximo \dfrac{h^2}{8}M_2.

Passo 4

Agora calcule f'' para f(x)=\ln(x) e encontre M_2.
  • \;f'(x)=\dfrac{1}{x}.
  • \;f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}.
Portanto \;|f''(x)|=\dfrac{1}{x^2}. Sobre o intervalo [1,10] a função \dfrac{1}{x^2} é decrescente, então o seu máximo ocorre em x=1 e vale
M_2=\max_{x\in[1,10]}\frac{1}{x^2}=1.
Substituindo em \dfrac{h^2}{8}M_2 obtemos o bound simples
\text{erro máximo por subintervalo}\le \frac{h^2}{8}.á

Passo 5

Imponho a condição numérica para ter seis casas decimais corretas: erro máximo ≤ 5\cdot10^{-7}. Assim
\frac{h^2}{8}\le 5\cdot10^{-7}.
Resolvo para h:
h^2 \le 8\cdot 5\cdot10^{-7}=4\cdot10^{-6},
h \le \sqrt{4\cdot10^{-6}}=\sqrt{4}\,\sqrt{10^{-6}}=2\cdot10^{-3}.
Em notação decimal com vírgula: h\le 0,002.

Passo 6

Interpretação prática: escolher h=0,002 (ou qualquer h menor) garante que o erro de interpolação linear em qualquer ponto do intervalo [1,10] seja menor que 5\cdot10^{-7}, assegurando assim seis casas decimais corretas após arredondamento.
Se for útil saber o número de subintervalos uniformes necessários, com h=0,002 o número de subintervalos é
n=\frac{10-1}{h}=\frac{9}{0,002}=4500.

Resposta

h=0,002

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