Exercício 5. Suponha que se queira construir uma tabela para a funçāo
no intervalo
de tal maneira que. ao ser aplicada nessa tabela, a interpolação linear sorneça resultados com seis casas decimais corretas. Determine o passo li dessa tabela.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a função
no intervalo . - Pedido: escolher o passo
da tabela (distância entre nós uniformes) de modo que, ao usar interpolação linear entre nós consecutivos, o valor aproximado de tenha seis casas decimais corretas.
Observação importante sobre “seis casas decimais corretas”: para garantir que o valor arredondado tenha as seis casas decimais corretas, é suficiente exigir que o erro absoluto da aproximação seja menor que
(metade da unidade na sexta casa decimal). Vou usar esse critério como tolerância.
Passo 2
Apresento a fórmula do erro da interpolação linear entre dois nós e explico de onde vem.
Se
é duas vezes diferenciável e se interpolamos linearmente
em dois nós consecutivos
e
, então, para qualquer
, existe
tal que
onde
é o polinômio afim (reta) que interpola
em
e
.
Breve justificativa (intuição): expandindo
em série de Taylor em torno de
até a primeira ordem e comparando com a reta que passa por
e
, o termo de segunda ordem aparece como resto e, aplicando o teorema do valor médio para restos, obtém-se a forma acima com
.
Passo 3
A partir da expressão do erro, faço um limite superior prático para o erro absoluto em cada subintervalo de comprimento
.
No subintervalo
definimos
. O produto
atinge, em valor absoluto, seu máximo no ponto médio
, cujo valor absoluto é
Usando isso na fórmula do erro, obtemos o majorante
onde
. Ou seja, o erro máximo em qualquer subintervalo de comprimento
é no máximo
.
Passo 4
Agora calcule
para
e encontre
.
Portanto
Sobre o intervalo
a função
é decrescente, então o seu máximo ocorre em
e vale
Substituindo em
obtemos o bound simples
Passo 5
Imponho a condição numérica para ter seis casas decimais corretas: erro máximo ≤
. Assim
Resolvo para
:
Em notação decimal com vírgula:
.
Passo 6
Interpretação prática: escolher
(ou qualquer
menor) garante que o erro de interpolação linear em qualquer ponto do intervalo
seja menor que
, assegurando assim seis casas decimais corretas após arredondamento.
Se for útil saber o número de subintervalos uniformes necessários, com
o número de subintervalos é