Exercício-proposta

Enunciado: Considere a série de Maclaurin (1) para \ln (1+x). Explique o domínio de definição de \ln (1+x). Use a série para aproximar \ln (1+x) com quatro algarismos significativos para x=0.5. Em seguida responda: quantos algarismos significativos teríamos se a tolerância exigida para o erro relativo percentual for \varepsilon=0.1 \% ?

Passo 1

O enunciado pede para usar a série de Maclaurin de \ln(1+x)
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{x^n}{n}
para aproximar \ln(1+x) em x=0.5 com quatro algarismos significativos, e depois determinar quantos algarismos significativos teríamos se a tolerância no erro relativo percentual fosse \varepsilon=0,1\%. Vamos precisar do domínio de definição de \ln(1+x), do raio de convergência da série (alternante) e do critério do resto alternante para estimar o número de termos.

Passo 2

Domínio de definição de \ln(1+x): precisamos que 1+x>0, logo
x>-1.
O raio de convergência da série de Maclaurin é 1, portanto ela converge para -1<x\le1 (convergência condicional em x=1).

Passo 3

Para garantir quatro algarismos significativos na aproximação usamos que, em séries alternantes com termos decrescentes em módulo, o resto após n termos satisfaz
\bigl|R_n\bigr|\le\frac{|x|^{\,n+1}}{n+1}.
Queremos o erro absoluto menor que metade da unidade do quarto algarismo significativo de \ln(1.5). Como \ln(1.5)\approx0{,}4054, precisamos
\frac{0.5^{\,n+1}}{n+1}\le 5\times10^{-5}.
Testando valores inteiros, chega-se a n=10, pois
\frac{0.5^{11}}{11}\approx4{,}44\times10^{-5}<5\times10^{-5},
enquanto com n=9 o resto ainda é maior que 5\times10^{-5}.

Passo 4

Calculamos a soma parcial até n=10:
S_{10}=\sum_{k=1}^{10}(-1)^{k+1}\frac{0.5^k}{k}\approx0{,}405435.
Arredondando a quatro algarismos significativos fica
\ln(1.5)\approx0{,}4054.

Passo 5

Agora, se exigirmos tolerância no erro relativo percentual de \varepsilon=0{,}1\%, isto é
\frac{|R_n|}{|\ln(1.5)|}\times100\%\le0{,}1\%,
o critério para d algarismos significativos é
\frac{|R_n|}{|\ln(1.5)|}\le0{,}5\times10^{1-d}.
Colocando \varepsilon=0{,}1\%=10^{-3} e resolvendo em d obtém-se d=3. Logo, com erro relativo percentual até 0{,}1\% garantimos três algarismos significativos.

Resposta

Aproximação de \ln(1.5) com quatro algarismos significativos:
\ln(1.5)\approx0{,}4054.
Se a tolerância no erro relativo percentual for \varepsilon=0{,}1\%, garantimos 3 algarismos significativos.

Exercícios relacionados