Enunciado: Considere a série de Maclaurin (1) para \ln (1+x). Explique o domínio de definição de \ln (1+x). Use a série para aproximar \ln (1+x) com quatro algarismos significativos para x=0.5. Em seguida responda: quantos algarismos significativos teríamos se a tolerância exigida para o erro relativo percentual for \varepsilon=0.1 \% ?
Passo 1
O enunciado pede para usar a série de Maclaurin de \ln(1+x)
para aproximar \ln(1+x) em x=0.5 com quatro algarismos significativos, e depois determinar quantos algarismos significativos teríamos se a tolerância no erro relativo percentual fosse \varepsilon=0,1\%. Vamos precisar do domínio de definição de \ln(1+x), do raio de convergência da série (alternante) e do critério do resto alternante para estimar o número de termos.
Passo 2
Domínio de definição de \ln(1+x): precisamos que 1+x>0, logo
x>-1.
O raio de convergência da série de Maclaurin é 1, portanto ela converge para -1<x\le1 (convergência condicional em x=1).
Passo 3
Para garantir quatro algarismos significativos na aproximação usamos que, em séries alternantes com termos decrescentes em módulo, o resto após n termos satisfaz
\bigl|R_n\bigr|\le\frac{|x|^{\,n+1}}{n+1}.
Queremos o erro absoluto menor que metade da unidade do quarto algarismo significativo de \ln(1.5). Como \ln(1.5)\approx0{,}4054, precisamos
Arredondando a quatro algarismos significativos fica
\ln(1.5)\approx0{,}4054.
Passo 5
Agora, se exigirmos tolerância no erro relativo percentual de \varepsilon=0{,}1\%, isto é
\frac{|R_n|}{|\ln(1.5)|}\times100\%\le0{,}1\%,
o critério para d algarismos significativos é
\frac{|R_n|}{|\ln(1.5)|}\le0{,}5\times10^{1-d}.
Colocando \varepsilon=0{,}1\%=10^{-3} e resolvendo em d obtém-se d=3. Logo, com erro relativo percentual até 0{,}1\% garantimos três algarismos significativos.
Resposta
Aproximação de \ln(1.5) com quatro algarismos significativos:
\ln(1.5)\approx0{,}4054.
Se a tolerância no erro relativo percentual for \varepsilon=0{,}1\%, garantimos 3 algarismos significativos.