Exercicio: Resolva por LU.
\left\{\begin{array}{l}0,252 x_{1}+0,36 x_{2}+0,12 x_{3}=7 \\\ 0,112 x_{1}+0,16 x_{2}+0,24 x_{3}=8 \\\ 0,147 x_{1}+0,21 x_{2}+0,25 x_{3}=9\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 0,252\,x_{1}+0,36\,x_{2}+0,12\,x_{3}=7,\\\\ 0,112\,x_{1}+0,16\,x_{2}+0,24\,x_{3}=8,\\\\ 0,147\,x_{1}+0,21\,x_{2}+0,25\,x_{3}=9 \end{cases}
por fatoração LU, ou seja, escrever A=LU onde
A=\begin{pmatrix} 0,252 & 0,36 & 0,12\\\\ 0,112 & 0,16 & 0,24\\\\ 0,147 & 0,21 & 0,25 \end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}7\\\ 8\\\ 9\end{pmatrix},
e então resolver Ly=b e Ux=y.

Passo 2

Começamos eliminando abaixo de a_{11}=0,252. Calculamos
\ell_{21}=\frac{0,112}{0,252}=\frac{4}{9}\approx0,444444,\qquad \ell_{31}=\frac{0,147}{0,252}=\frac{7}{12}\approx0,583333.
Subtraímos \ell_{21} vezes a linha 1 da linha 2, e \ell_{31} vezes a linha 1 da linha 3, obtendo a matriz triangular superior transformada
U'=\begin{pmatrix} 0,252 & 0,36 & 0,12\\\\ 0 & 0 & 0,186667\\\\ 0 & 0 & 0,18 \end{pmatrix}
com o termo independente modificado em b':
b'=\begin{pmatrix} 7\\\\ 8 - \tfrac{4}{9}\cdot7 \\\\ 9 - \tfrac{7}{12}\cdot7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 7\\\\ 4,888889\\\\ 4,916667 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na segunda etapa de eliminação o pivô seria u'_{22}=0. Como esse elemento é nulo, não é possível continuar a fatoração LU sem trocar linhas (ou seja, sem pivotar). Além disso, as equações correspondentes dariam duas condições diferentes para x_3:
0,186667\,x_3 = 4,888889 \quad\text{e}\quad 0,18\,x_3 = 4,916667,
que são incompatíveis.

Resposta

A matriz A é singular (não permite fatoração LU sem pivotamento) e o sistema não admite solução única (é incompatível).

Exercícios relacionados